| English | 의미 |
|---|---|
| infinite series/ˈɪnfɪnət ˈsɪəriːz/ | 무한급수 |
| converges/kənˈvɜːdʒɪz/ | 수렴하다 |
| diverges/daɪˈvɜːdʒɪz/ | 발산하다 |
| partial sum/ˈpɑːʃl sʌm/ | 부분합 |
Adding up infinitely many numbers
- Can you add up infinitely many terms and get a finite total? Sometimes yes.
- An infinite series 无穷级数 is the sum $a_1+a_2+a_3+\cdots$ of the terms of a sequence.
- It converges 收敛 if the running total approaches a finite number, and diverges 发散 otherwise.
- This unit is all about deciding which — and, when it converges, to what.
Partial sums are the key
- Add the terms one at a time: the partial sum 部分和 $S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n$ is the total of the first $n$ terms.
- These partial sums form their own sequence $S_1,S_2,S_3,\dots$.
- The series' value is defined as the limit of the partial sums: $\displaystyle\sum a_n=\lim_{n\to\infty}S_n$.
- So an infinite sum is really a limit — the same limit idea from Unit 1.
수렴하는 급수의 항들
$1+\tfrac12+\tfrac14+\cdots$의 항들은 기하급수적으로 감소하므로 부분합은 유한한 한계에 수렴합니다.
무한급수의 값은 해당 급수의 ...의 극한으로 정의됩니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
$\sum a_n=\lim_{n\to\infty}S_n$.
초기 $n$항의 합인 $S_n$은 $n$차 ____ 합이라 부릅니다.
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이 급수는 이러한 부분합들의 극한입니다.
Converge vs. diverge
- Converges: the partial sums $S_n$ approach a finite limit $L$ — that $L$ is the series' sum.
- Diverges: the partial sums grow without bound, or bounce and never settle.
- $1+\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots$ converges (to $2$); $1+1+1+\cdots$ diverges.
- Convergence is about the partial sums settling down, not the terms.
$1+\tfrac12+\tfrac14+\cdots$의 부분합은 어떤 한계로 향합니까?
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비 $\tfrac12$인 기하급수의 합은 $2$입니다.
어느 급수가 명확히 발산합니까?
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항들이 $0$로 수렴하지 않으므로 이 급수는 발산합니다.
부분합이 ...할 때 급수는 수렴합니다.
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수렴 = 부분합이 유한한 $L$ 값에 수렴함.
Terms shrinking is necessary, not enough
- For a series to converge, its terms must shrink to $0$ — otherwise the total can't settle.
- But shrinking terms alone don't guarantee convergence (the harmonic series $\sum\tfrac1n$ has terms $\to0$ yet diverges).
- So "$a_n\to0$" is a necessary condition, not a sufficient one.
- The tests in this unit are the tools for the harder cases.
항 $a_n\to 0$라면, 급수는 수렴해야 합니다.
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필요조건이지만 충분조건은 아님 — 예를 들어 $\sum\tfrac1n$는 발산합니다.
A series is a limit of partial sums, not just "the terms." Terms going to $0$ is necessary for convergence but not sufficient — $\sum\frac1n$ has terms $\to0$ yet diverges. Don't conclude convergence just because the terms shrink; you need one of the convergence tests.
Does $1+\tfrac12+\tfrac14+\tfrac18+\cdots$ converge?
- Partial sums: $S_1=1$, $S_2=1.5$, $S_3=1.75$, $S_4=1.875,\dots$
- They climb toward $2$ and never pass it.
- The limit is $2$, so the series converges to $2$.
An infinite series $\sum a_n$ is the limit of its partial sums $S_n=a_1+\cdots+a_n$: it converges to $L$ if $S_n\to L$ (finite), and diverges otherwise. Terms shrinking to $0$ is necessary but not sufficient for convergence.