두 극곡선 사이의 영역
- 극곡선 $x,y$의 경우와 마찬가지로 두 극곡선 사이의 면적을 구할 수 있습니다.
- 외부 곡선 내부의 면적에서 내부 곡선 내부의 면적을 뺍니다.
- 각각은 $\tfrac12\int r^2\,d\theta$ 적분이며, 답은 그들의 차이입니다.
- 핵심은 각도 구间을 설정하기 위해 곡선이 교차하는 지점을 찾는 것입니다.
먼저 교차 각도를 찾으세요
- 두 곡선을 같다고 두고, $f(\theta)=g(\theta)$로 설정하여 교차 각도를 구하세요.
- 이 각도들이 둘러싸인 영역에 대한 적분 구간 $\alpha,\beta$가 됩니다.
- (극 좌표에서의 교차는 신비로울 수 있습니다 — 같은 점이 다른 $\theta$ 값을 통해 도달될 수 있으므로, 스킷을 그려서 확인하십시오.)
- 관심 있는 영역은 이 각도들 사이에 위치합니다.
두 극좌표 곡선 사이의 면적은 적분피함수가 ...일 때 $\tfrac12\int_\alpha^\beta(\ ?\ )\,d\theta$입니다.
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바깥쪽 제곱에서 안쪽 제곱을 뺍니다.
각도 한계를 설정하려면 $f(\theta)=g(\theta)$을 풀어서 ____ 각도를 구하십시오.
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곡선이 교차하는 지점이 영역을 경계합니다.
외부 제곱 minus 내부 제곱
- 구간 내에서 어떤 곡선이 외부(더 큰 $r$)이고 어떤 것이 내부인지 식별하십시오.
- 그들 사이의 면적은 다음과 같습니다:
-
$$A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\Big(\big[r_{\text{outer}}\big]^2-\big[r_{\text{inner}}\big]^2\Big)\,d\theta$$
- 각 반지름을 제곱하고, 빼고, 두 배로 나누고, 적분합니다 — 극 washers입니다.
두 극좌표 곡선 사이에서
두 극좌표 곡선 사이의 면적은 안쪽 세クター를 바깥쪽에서 뺀 것입니다 — $\tfrac12\int(r_\text{out}^2-r_\text{in}^2)\,d\theta$.
구간 내에서 바깥쪽 곡선은 ...를 갖는 곡선입니다.
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바깥쪽 = 원점에서 더 멀리 = 더 큰 $r$ 값.
먼저 제곱, سپس 뺍니다
- Cartesian washer와 마찬가지로, 그것은 $r_{\text{out}}^2-r_{\text{in}}^2$이며, $(r_{\text{out}}-r_{\text{in}})^2$이 아닙니다.
- 빼기 전에 각 반지름을 제곱하십시오.
- 구간 내에서 외부 곡선이 무엇인지 확인하십시오 — 위치가 바뀔 수 있으므로 분할이 필요합니다.
- $\tfrac12$와 제곱은 모두 필수적입니다.
$r=2$ 내부, $r=1$ 외부의 넓이: $\tfrac12\int_0^{2\pi}(4-1)\,d\theta$ ($\pi$의 배수).
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$\tfrac12\cdot3\cdot2\pi=3\pi$.
뺄셈 전에 각 반지름을 제곱해야 하며, $(r_\text{out}-r_\text{in})^2$처럼 먼저 뺍니다.
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그것은 $r_\text{out}^2-r_\text{in}^2$입니다.
구간 내에서 안쪽과 바깥쪽 곡선의 위치가 바뀌면, 교차 지점에서 적분을 분리해야 합니다.
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분리하면 각 구간에서 바깥쪽 minus 안쪽이 올바르게 유지됩니다.
피적분함수는 $r_{\text{outer}}^2-r_{\text{inner}}^2$입니다 — 빼기 전에 제곱하십시오, 절대 **$(r_{\text{out}}-r_{\text{in}})^2$**은 아닙니다. 교차 각도를 정확하게 얻으십시오(곡선 스킷), 구간 내에서 외부 곡선이 무엇인지 확인하십시오; 위치가 바뀌면 교차점에서 적분을 분할하십시오.
$r=2$ 내부이지만 $r=1$ 외부에 있는 면적을 구하시오 (원환면).
- 외부 $r=2$, 내부 $r=1$, 모든 각도 $0$부터 $2\pi$까지.
- $A=\dfrac12\displaystyle\int_0^{2\pi}\big(2^2-1^2\big)\,d\theta=\dfrac12\int_0^{2\pi}3\,d\theta=\dfrac12\cdot3\cdot2\pi=3\pi$.
- (링의 면적 $\pi(2^2-1^2)=3\pi$와 일치합니다.) ✓
두 극곡선 사이의 면적은 $A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\big(r_{\text{outer}}^2-r_{\text{inner}}^2\big)\,d\theta$입니다. 먼저 구间을 위한 교차 각도를 찾고, 외부 vs 내부를 식별하며, 빼기 전에 각 반지름을 제곱하십시오 — 절대 **$(r_{\text{out}}-r_{\text{in}})^2$**은 아닙니다.