| English | 의미 |
|---|---|
| area/ˈeərɪə/ | 면적 |
| sectors/ˈsektəz/ | 호선형 |
극 곡선이扫过的 면적
- $y=f(x)$에서는 면적을 수직 사각형으로 썬 것입니다. 극 곡선은 원점을 중심으로扫过합니다.
- 따라서 영역을 얇은 부채꼴로 썩니다. 각각 원의 한 조각입니다.
- 부채꼴 면적들을 합산하면 극 곡선으로 둘러싸인 면적이 됩니다.
- 결과는 $\theta$로 깔끔한 적분식입니다.
극좌표의 면적 공식
- 각도 $\theta$에 있는 얇은 부채꼴은 반지름 $r=f(\theta)$과 매우 작은 각도 $d\theta$을 가지며, 이 부채꼴의 면적은 $\tfrac12 r^2\,d\theta$입니다.
- 이를 $\theta=\alpha$부터 $\theta=\beta$까지 더하십시오:
-
$$A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\big(f(\theta)\big)^2\,d\theta$$
- 반지름을 제곱한 뒤 두 배로 나누고, 각도 구간에서 적분합니다.
The area enclosed by $r=f(\theta)$ is...
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
Half the integral of $r^2$.
$\tfrac12 r^2$가 필요한 이유
- 반지름 $r$이고 각도 $\Delta\theta$인 완전한 원형 부채꼴의 면적은 $\tfrac12 r^2\,\Delta\theta$입니다.
- 우리가 사용하는 얇은 조각들은 바로 이러한 부채꼴들입니다. (여기서 $\Delta\theta\to d\theta$는 부채꼴을 의미합니다.)
- 이들을 더하는(적분하는) 과정이 sweeps-out된 영역을 모으게 됩니다.
- 이는 '얇은 직사각형을 더한다'는Cartesian 개념의 극좌표 counterparts로, 파이)slices를 사용합니다.
Thin sectors sweep the area
A polar region is summed from thin pie-slice sectors, each of area $\tfrac12 r^2\,d\theta$.
The polar area formula sums the areas of thin circular ____.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
Each sector has area $\tfrac12 r^2\,d\theta$.
각도 구간의 선택
- 구간 $\alpha,\beta$는 곡선이 해당 영역을 한 번만扫过하는 각도 범위입니다.
- 단순 곡선의 한完整 루프의 경우, 보통은 $0$부터 $2\pi$까지이지만, 많은 곡선은 그보다 짧은 구간에서 닫힙니다.
- 장미 $r=\cos(3\theta)$의 한 꽃잎은 $r$의 연속적인 영점 사이에서 스윕됩니다.
- 영역을 정확히 한 번만 traces하는 구간을 선택하세요(중복 계산 방지).
Find the area enclosed by $r=2$: $\tfrac12\int_0^{2\pi}4\,d\theta$ (as a multiple of $\pi$, enter the number).
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
$\tfrac12\cdot4\cdot2\pi=4\pi$.
The polar area formula includes a factor of $\tfrac12$ and squares $r$.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
$A=\tfrac12\int r^2\,d\theta$.
The angle limits $\alpha,\beta$ should be chosen so the curve traces the region...
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
Tracing more than once double-counts area.
The polar formula gives $4\pi$ for $r=2$, which matches...
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
$\pi(2)^2=4\pi$ — the two agree.
공식은 $\tfrac12\int r^2\,d\theta$입니다 — **$\tfrac12$**과 $r$ 위의 제곱을 잊지 마세요. 그리고 구間 $\alpha,\beta$을 선택하여 곡선이 영역을 정확히 한 번만 traces하도록 하십시오: 각도 범위를 초과하면 면적이 이중 계산됩니다(예: 완전한 장미 꽃잎은 두 연속 $r=0$ 값 사이의 각도가 필요하며, $0$부터 $2\pi$까지가 아닙니다).
$r=2$로 둘러싸인 면적을 구하시오 (반지름 $2$인 원).
- $A=\dfrac12\displaystyle\int_0^{2\pi}(2)^2\,d\theta=\dfrac12\int_0^{2\pi}4\,d\theta=\dfrac12\cdot4\cdot2\pi=4\pi$.
- 이는熟悉的 원의 면적 $\pi r^2=\pi(2)^2=4\pi$와 일치합니다. ✓
극곡선 $r=f(\theta)$로 둘러싸인 면적은 $A=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}\big(f(\theta)\big)^2\,d\theta$입니다 — 얇은 부채꼴 $\frac12 r^2\,d\theta$을 더하는 것입니다. **$\frac12$**과 제곱을 유지하고, 영역이 정확히 한 번만 traces되도록 각도 구간을 선택하십시오.