| English | 의미 |
|---|---|
| Cartesian/kɑːˈtiːzɪən/ | 직교좌표계 |
| Polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/ | 극좌표계 |
Locating points by angle and distance
- Cartesian coordinates use "right $x$, up $y$." Polar coordinates 极坐标 use "angle and distance."
- A point is $(r,\theta)$: $r$ is how far from the origin, $\theta$ is the angle from the positive $x$-axis.
- Circles and spirals that are ugly in $x,y$ become simple in polar form.
- Curves are written $r=f(\theta)$ — radius as a function of angle.
Converting polar ⇄ Cartesian
- Polar to Cartesian 直角坐标: $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$.
- Cartesian to polar: $r=\sqrt{x^2+y^2}$ and $\tan\theta=\tfrac{y}{x}$.
- These come straight from right-triangle trig on the point.
- Switch whichever way makes the problem easier.
사인과 코사인 극좌표를 구성한다
$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ — 극좌표는 이 각도에 대한 두 삼각함수로부터 구성된다.
극좌표에서 직교좌표로의 변환은 ...이다.
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$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$.
직교좌표에서 극좌표로 변환하려면, $r=\sqrt{x^2+\ \_\_\_\ }$.
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$r=\sqrt{x^2+y^2}$.
A polar curve is secretly parametric
- Treat $r=f(\theta)$ as a parametric curve with $\theta$ as the parameter:
- $x=f(\theta)\cos\theta$ and $y=f(\theta)\sin\theta$.
- Now all the parametric machinery applies — including the slope $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$.
- So "differentiating in polar" just means parametric differentiation with these $x,y$.
$(2,\tfrac{\pi}{3})$를 변환하라: $x$ 좌표를 구하라.
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$2\cos\tfrac{\pi}{3}=2\cdot\tfrac12=1$.
극곡선 $r=f(\theta)$은 매개변수로 ...를 가지는 매개변수 곡선으로 처리할 수 있다.
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$x=f(\theta)\cos\theta$, $y=f(\theta)\sin\theta$을 매개변수 $\theta$로 표현한다.
Finding the slope $\tfrac{dy}{dx}$
- Compute $\tfrac{dx}{d\theta}$ and $\tfrac{dy}{d\theta}$ from the product/chain rule on $f(\theta)\cos\theta$ and $f(\theta)\sin\theta$.
- Then $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ — the ordinary parametric slope.
- Warning: $\tfrac{dy}{dx}$ is not $\tfrac{dr}{d\theta}$; the slope needs the full $x,y$ derivatives.
- The parameter is $\theta$, so differentiate the $x,y$ expressions with respect to $\theta$.
극곡선의 기울기 $\tfrac{dy}{dx}$은 $\tfrac{dr}{d\theta}$과 같다.
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기울기는 $\tfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$이며, $x,y$ 도함수를 사용한다.
극좌표 $(r,\theta)$과 $(r,\theta+2\pi)$은 같은 점을 나타낸다.
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완전한 한 바퀴 돌면 같은 점으로 돌아옵니다.
The slope of a polar curve is $\dfrac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$, not $\dfrac{dr}{d\theta}$. You must convert to $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ first and differentiate those (product rule!) with respect to $\theta$. And a point's polar coordinates aren't unique — $(r,\theta)$ and $(r,\theta+2\pi)$ are the same point.
Convert the polar point $\big(2,\tfrac{\pi}{3}\big)$ to Cartesian.
- $x=r\cos\theta=2\cos\tfrac{\pi}{3}=2\cdot\tfrac12=1$.
- $y=r\sin\theta=2\sin\tfrac{\pi}{3}=2\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}=\sqrt3$.
- So the point is $\big(1,\sqrt3\big)$.
Polar coordinates $(r,\theta)$ give a point by distance and angle. Convert with $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ (and back via $r=\sqrt{x^2+y^2}$). A polar curve $r=f(\theta)$ is a parametric curve in $\theta$, so its slope is $\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}$ — not $\frac{dr}{d\theta}$.