평면 운동 전체 과정
- 이제 모든 것을 결합합니다: $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$로 기술된 평면 위를 움직이는 입자입니다.
- 속도와 가속도를 위해 미분하고, 그 반대 방향으로 이동하기 위해 적분합니다.
- 속도 성분에서 속력과 이동 거리를 계산합니다.
- 이 수업은 모든 BC 평면 운동 문제의 도구상자입니다.
위치, 속도, 가속도
- 위치: $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$.
- 속도: $\mathbf{v}(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ — 운동 방향, 경로의 접선 방향.
- 가속도: $\mathbf{a}(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$.
- 미분하여 위쪽으로, 초기 조건을 사용하여 적분하여 아래쪽으로 이동합니다.
The velocity vector is tangent to the path; its magnitude is the ____.
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Speed = magnitude of velocity.
속력과 이동 거리
- 시간 $t$의 속력: $|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{\big(x'(t)\big)^2+\big(y'(t)\big)^2}$ — 스칼라 값입니다.
- $[a,b]$ 동안 이동 거리: 속력 $\displaystyle\int_a^b |\mathbf{v}(t)|\,dt$을 적분하십시오.
- 이는 동일한 호 길적분입니다 — 총 경로 길이이며, 항상 음수가 아닙니다.
- 속력은 '지금 얼마나 빠르게'에 대한 답이고, 적분은 '전체적으로 얼마나 jauh게'에 대한 답입니다.
A velocity component over time
y = bx
Speed combines the velocity components; integrating speed over time gives the total distance the particle travels.
For $\mathbf{v}(t)=\langle 2t,3\rangle$, find the speed at $t=2$.
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$\sqrt{4^2+3^2}=5$.
Distance traveled over $[a,b]$ is...
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Integrate the speed (magnitude of velocity).
나중 시간의 위치
- 입자가 시간 $b$에 어디에 있는지를 구하려면: 알려진 위치에서 시작하여 누적된 변화를 더합니다.
- $x(b)=x(a)+\displaystyle\int_a^b x'(t)\,dt$,同理로 $y$ — 각 성분을 별도로.
- 이는 "최종 = 초기 + 누적 변화"이며, 좌표별로 수행됩니다.
- 두 결과를 결합하여 시간 $b$의 위치 벡터를 만듭니다.
Which of these are vectors (not scalars)?
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Velocity and acceleration are vectors; speed and distance are scalars.
The $x$-position at time $b$ is $x(a)$ plus...
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Final = initial + accumulated change of $x$.
Distance traveled equals the magnitude of the displacement vector.
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Distance is $\int|\mathbf{v}|\,dt$; displacement magnitude can be smaller.
벡터와 스칼라를 명확히 구분하십시오: 속도와 가속도는 벡터(방향+크기)이며, 속력과 거리는 스칼라입니다. 이동 거리는 $\int|\mathbf{v}|\,dt$(속력의 적분)이며, 변위 $\int \mathbf{v}\,dt$나 $|\int\mathbf{v}\,dt|$가 아닙니다. 나중 위치를 구하는 방법: 성분의 적분값을 초기 위치에 더하십시오.
입자가 $\mathbf{v}(t)=\langle 2t,\ 3\rangle$를 가집니다. $t=2$에서의 속력을 구하고, $[0,2]$에 대한 이동 거리를 설정하십시오.
- $t=2$에서의 속력: $|\mathbf{v}(2)|=\sqrt{(4)^2+3^2}=\sqrt{25}=5$.
- $[0,2]$에 대한 거리: $\displaystyle\int_0^2\sqrt{(2t)^2+3^2}\,dt=\int_0^2\sqrt{4t^2+9}\,dt$ (수치로 평가).
평면 운동 $\mathbf{r}(t)=\langle x,y\rangle$: 속도 $\mathbf{v}=\mathbf{r}'$, 가속도 $\mathbf{a}=\mathbf{r}''$ (벡터); 속력 $|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$ 및 이동 거리 $\int_a^b|\mathbf{v}|\,dt$ (스칼라). 나중 위치를 구하는 방법: $x',y'$의 성분 적분값을 초기 위치에 더하십시오.