성분을 따라 벡터 적분하기
- 벡터의 미분이 성분별이었다면, 적분 역시 정확히 같습니다.
- 각 성분을 별도로 적분하고, 결과를 다시 벡터로 묶으세요.
- $\displaystyle\int \langle f(t),\,g(t)\rangle\,dt = \Big\langle \int f\,dt,\ \int g\,dt\Big\rangle$.
- 이를 통해 운동을 역방향으로 진행할 수 있습니다: 가속도에서 속도로, 속도에서 위치로.
$\langle f(t),g(t)\rangle$을 적분하려면...
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성분별로 적분하고, 상수 벡터를 더한다.
성분별 원함수
- 각 성분은 자체의 원함수와 상수를 가집니다.
- 이 상수들은 상수 벡터 $\mathbf{C}=\langle C_1,\,C_2\rangle$로 결합됩니다.
- 따라서 벡터 함수의 무한 적분은 자체 벡터(또는 $\mathbf{C}$ 추가)입니다.
- 배울 것은 없습니다 — 단변수 적분을 두 번 적용하면 됩니다.
벡터 함수를 적분하면 상수 벡터 $\mathbf{C}$이 추가된다.
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성분마다 하나의 상수가 있으며, 이것이 $\mathbf{C}$에 묶인다.
적분의 각 성분은 자체적인 적분 상수를 가진다.
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이들이 상수 벡터 $\mathbf{C}$로 결합된다.
가속도로부터 속도 구하기
- 가속도 벡터 $\mathbf{a}(t)$이 주어졌을 때, 적분하여 속도를 회복하세요:
- $\mathbf{v}(t)=\displaystyle\int \mathbf{a}(t)\,dt$, 상수 벡터는 초기 속도 $\mathbf{v}(t_0)$에 의해 결정됩니다.
- 위치를 구하기 위해 다시 적분하고, 초기 위치를 사용합니다.
- 이는 적분을 통해 "위치 ← 속도 ← 가속도"로 연결되는 벡터 버전입니다.
가속도를 적분하여 속도 구하기
y = ax² + bx
가속도 각 성분을 적분(상수 추가)하면 속도가 복원되며, 초기 조건이 상수를 결정한다.
가속도 벡터를 적분하면 ...이 복원된다.
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가속도를 적분하면 속도가 된다.
초기 조건을 사용하여 $\mathbf{C}$ 구하기
- 각 적분 단계마다 확인해야 하는 상수 벡터가 하나씩 추가됩니다.
- 주어진 초기 벡터(특정 시간의 속도 또는 위치)를 대입하여 $\mathbf{C}$를 구합니다.
- 이를 성분별로 수행하면, 초기 조건이 $C_1$와 $C_2$ 모두를 고정하게 됩니다.
- 이후 완전히 결정된 벡터 함수를 작성합니다.
$\mathbf{a}(t)=\langle 2,6t\rangle$과 $\mathbf{v}(0)=\langle 1,0\rangle$이면, $\mathbf{v}(t)=$이다
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적분한 후 $\mathbf{v}(0)$을 적용: $C_1=1,C_2=0$.
상수 벡터를 결정하기 위해 주어진 ____ 조건을 적용하라.
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초기 속도 또는 위치를 대입하라.
각 성분을 별도로 적분하고 상수 벡터 $\mathbf{C}$을 누락하지 마십시오 — 각 성분마다 상수항(적분 상수)이 필요합니다. 주어진 시간의 초기 조건(속도 또는 위치)을 사용하여 성분을 하나씩 $\mathbf{C}$을 구한 뒤 결과를 제시하십시오.
$\mathbf{a}(t)=\langle 2,\ 6t\rangle$과 $\mathbf{v}(0)=\langle 1,\ 0\rangle$일 때, $\mathbf{v}(t)$을 구하십시오.
- 적분: $\mathbf{v}(t)=\langle 2t+C_1,\ 3t^2+C_2\rangle$.
- $\mathbf{v}(0)=\langle 1,0\rangle$ 적용: $C_1=1$, $C_2=0$.
- $\mathbf{v}(t)=\langle 2t+1,\ 3t^2\rangle$.
성분별로 벡터 값 함수를 적분하십시오: $\int\langle f,g\rangle\,dt=\langle\int f\,dt,\int g\,dt\rangle$, 그리고 상수 벡터 $\mathbf{C}$. 가속도를 적분하여 속도를 얻고(다시 적분하여 위치), 각 성분에 대해 상수항 $\mathbf{C}$을 구하기 위해 초기 조건을 사용하십시오.