| English | 의미 |
|---|---|
| vector-valued function/ˈvektə ˈvæljuːd ˈfʌŋkʃn/ | 벡터 값 함수 |
운동을 하나의 화살표로 묶기
- 매개변수 곡선은 $x(t)$과 $y(t)$를 각각 제공합니다. 이들을 하나의 객체인 **벡터 함수(vector-valued function)**로 묶습니다.
- $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$은 위치 벡터입니다 — 원점에서 움직이는 점으로 향하는 화살표입니다.
- 이는 평면 운동을 간결하게 서술하며, 두 좌표를 동시에 추적합니다.
- 매개변수 곡선에서 다루었던 모든 개념이 여기 벡터 형태로 다시 등장합니다.
r(t)가 그리는 경로
y = ax² + bx
위치 벡터 $\mathbf{r}(t)$은 움직이는 입자를 가리키며, 그 도함수(성분별로)는 속도 벡터이다.
성분별로 미분하기
- 벡터 함수를 미분하려면 각 성분을 별도로 미분하면 됩니다:
-
$$\mathbf{r}'(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$$
- 새로운 규칙이 없습니다 — 벡터의 도함수는 도함수들의 벡터입니다.
- $\mathbf{r}'(t)$는 속도 벡터이며, 운동 방향을 가리킵니다.
$\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$을 미분하려면...
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$\mathbf{r}'=\langle x',y'\rangle$.
속도 및 가속도 벡터
- $\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ — 속도 벡터입니다.
- $\mathbf{a}(t)=\mathbf{r}''(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$ — 가속도 벡터입니다.
- 각 벡터는 성분을 다시 미분하여 구할 수 있습니다.
- 속도 벡터는 경로에 접선이며, 그 길이는 속도입니다.
$\mathbf{r}(t)=\langle t^2,\sin t\rangle$에 대해, 속도 $\mathbf{v}(t)=$
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각 성분을 미분하라.
가속도 벡터는 ...이다.
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위치를 두 번 미분: $\mathbf{a}=\mathbf{r}''$.
속도는 속도의 크기입니다
- **속도(speed)**는 * 벡터가 아닙니다 — 그것은 크기(magnitude) $|\mathbf{v}(t)|=\sqrt{\big(x'(t)\big)^2+\big(y'(t)\big)^2}$입니다.
- 이것은 매개변수 곡선 길이의 속도 피적분함수와 동일합니다.
- 즉, 속도는 방향과 크기를 모두 포함하지만, 속도는 단지 크기만입니다.
- 성분을 따라 위치 → 속도 → 가속도로 미분하세요.
$\mathbf{v}(0)=\langle 0,1\rangle$에 대해, 속도 $|\mathbf{v}(0)|$을 구하라.
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$\sqrt{0^2+1^2}=1$.
속도는 벡터이며,速度与 velocity와 동일하다.
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속도는 스칼라 크기 $|\mathbf{v}|$이다.
속도는 속도 벡터의 ____과 같다.
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$|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$.
벡터를 성분별로 미분하십시오 — '전체 벡터'를 한 번에 더러운 식으로 미분하려 하지 마십시오. 또한 속도(벡터)와 속력(그 크기로 스칼라)를 구분하십시오: $|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$, 단순히 $x'+y'$만으로는 안 됩니다.
$\mathbf{r}(t)=\langle t^2,\ \sin t\rangle$에 대해 $\mathbf{v}(t)$과 $t=0$에서의 속도를 구하세요.
- $\mathbf{v}(t)=\mathbf{r}'(t)=\langle 2t,\ \cos t\rangle$.
- At $t=0$: $\mathbf{v}(0)=\langle 0,\ 1\rangle$.
- 선속도 $=|\mathbf{v}(0)|=\sqrt{0^2+1^2}=1$.
벡터 함수 $\mathbf{r}(t)=\langle x(t),y(t)\rangle$는 평면 운동을 서술합니다. 이를 성분별로 미분하세요: $\mathbf{v}=\mathbf{r}'=\langle x',y'\rangle$(속도), $\mathbf{a}=\mathbf{r}''$(가속도). 속도는 크기 $|\mathbf{v}|=\sqrt{(x')^2+(y')^2}$ — 벡터와는 다른 스칼라입니다.