| English | 의미 |
|---|---|
| parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/ | 매개변수 방정식 |
| parameter/pəˈræmɪtə/ | 매개변수 |
A curve traced by a moving point
- Instead of $y=f(x)$, describe a curve by giving $x$ and $y$ each as a function of a third variable.
- These are parametric equations 参数方程: $x=f(t)$ and $y=g(t)$, with parameter 参数 $t$.
- Think of $t$ as time: as $t$ runs, the point $\big(x(t),y(t)\big)$ traces the curve.
- This lets you draw loops and vertical stretches that no single $y=f(x)$ can.
매개변수가 그리는 곡선
y = ax³ + bx
매개변수 방정식은 점이 곡선을 그리게 하며 — 단일 $y=f(x)$가 그릴 수 없는 루프 및 수직 신장을 허용합니다.
$x=f(t)$, $y=g(t)$에서 변수 $t$을 ____라고 한다.
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매개변수는 두 좌표를 모두 결정한다.
The parameter drives both coordinates
- At each $t$, plug into both equations to get a point $\big(x(t),y(t)\big)$.
- The curve is the path swept out as $t$ increases — with a direction of travel.
- Example: $x=\cos t,\ y=\sin t$ traces the unit circle counterclockwise.
- Eliminating $t$ (when possible) recovers a relation between $x$ and $y$.
어떤 매개변수 방정식이 단위원을 그리는가?
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$\cos^2 t+\sin^2 t=1$이 단위원을 그린다.
The slope $\tfrac{dy}{dx}$ from derivatives in $t$
- To find the curve's slope, differentiate each coordinate in $t$ and divide:
-
$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$$
- Both $\tfrac{dy}{dt}$ and $\tfrac{dx}{dt}$ come from the two equations; their ratio is the slope.
- (This is the chain rule: $\tfrac{dy}{dt}=\tfrac{dy}{dx}\cdot\tfrac{dx}{dt}$, rearranged.)
매개변수 곡선에 대해 $\dfrac{dy}{dx}=$이다.
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위/아래: $\frac{dy/dt}{dx/dt}$.
$x=t^2$, $y=t^3$, $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t}{2}$에 대해: $t=2$에서의 기울기를 구하십시오.
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$\frac{3(2)}{2}=3$.
Horizontal and vertical tangents
- Horizontal tangent: $\tfrac{dy}{dt}=0$ (and $\tfrac{dx}{dt}\neq0$) — the slope is $0$.
- Vertical tangent: $\tfrac{dx}{dt}=0$ (and $\tfrac{dy}{dt}\neq0$) — the slope is undefined.
- These come directly from the two component derivatives.
- So the same $\tfrac{dy}{dt}$, $\tfrac{dx}{dt}$ give both the slope and its special cases.
매개변수 곡선이 수평 접선을 가지는 곳은 ...입니다.
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수평 ⇔ 기울기 $0$ ⇔ $\tfrac{dy}{dt}=0$.
수직 접선이 발생하는 곳은 $\dfrac{dx}{dt}=$가 ____ (및 $\tfrac{dy}{dt}\neq0$)할 때입니다.
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0인 $\tfrac{dx}{dt}$ → 정의되지 않은 기울기 → 수직.
The slope is $\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ — a ratio of the two derivatives, not $\dfrac{d}{dt}\big[\tfrac yx\big]$ or $\dfrac{dy}{dt}\cdot\dfrac{dx}{dt}$. And it's top over bottom: $\tfrac{dy}{dt}$ divided by $\tfrac{dx}{dt}$. Swapping them inverts the slope.
For $x=t^2,\ y=t^3$, find $\dfrac{dy}{dx}$ at $t=2$.
- $\dfrac{dx}{dt}=2t$, $\dfrac{dy}{dt}=3t^2$.
- $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2}{2t}=\dfrac{3t}{2}$.
- At $t=2$: $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3(2)}{2}=3$.
Parametric equations $x=f(t)$, $y=g(t)$ trace a curve as the parameter $t$ varies. The slope is $\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}$ (top over bottom). A horizontal tangent has $\frac{dy}{dt}=0$; a vertical tangent has $\frac{dx}{dt}=0$.