| English | 의미 |
|---|---|
| Arc length/ɑːk leŋθ/ | 호 길이 |
곡선의 길이 측정
- 면적과 부피는 적분이었듯이, 곡선의 길이 자체도 적분입니다.
- 호 길(Arc length) 은 곡선을 따라 있는 작은 직선 조각들의 길이를 합산한 것입니다.
- 각 작은 조각에서 곡선은 거의 직선과 같습니다 — 작은 직각삼각형의 빗변처럼요.
- 이러한 빗변들을 합산(적분)하여 총 길이를 구합니다.
작은 삼각형에서 공식으로
- 작은 선분은 수평 이동 $dx$과 수직 상승 $dy=f'(x)\,dx$을 가집니다.
- 그 길이는 $\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$ (피타고라스 정리).
- 이를 $a$부터 $b$까지 더하십시오:
-
$$L=\int_a^b \sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$$
곡선은 현(chord)보다 길다
y = a·x^{1.5}
호 길이는 미소 hypotenuses(빗변) $\sqrt{1+(f')^2}\,dx$의 합으로 구성되며 — 항상 수평 거리 $b-a$ 이상입니다.
$y=f(x)$의 $[a,b]$ 위 호 길이는 ...입니다.
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미분값을 제곱하고 1을 더한 후 루트를 취합니다.
공식 활용법
- $f'(x)$를 계산하고, 제곱한 후 $1$을 더하고, 제곱근을 취한 뒤 $[a,b]$ 구간에서 적분하십시오.
- 피적분함수는 항상 $\ge1$이므로, 호 길은 최소한 수평 거리 $b-a$ 이상이어야 합니다(곡선은 직선보다 깁니다).
- 많은 호 길 적분은 손으로 계산하기 어렵습니다. BC 시험에서는 주로 설정만 하고 수치적으로 평가합니다.
- 핵심 기술은 $f'$로부터 피적분함수를 올바르게 구성하는 것입니다.
$y=\tfrac23 x^{3/2}$에 대해, $f'(x)=x^{1/2}$. 호 길이의 피적분함수는 ...입니다.
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$(f')^2=x$, 따라서 $\sqrt{1+x}$입니다.
$\int_0^3 \sqrt{1+x}\,dx$를 평가하십시오 (소수점 숫자).
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$\tfrac23(8-1)=\tfrac{14}{3}\approx4.667$.
피적분함수가 $\ge 1$이므로, 호 길이는 항상 ... 이상입니다.
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곡선은 직선 경로보다 적어도 길이가 같습니다.
이동 거ری作为 distance traveled as arc length
- 입자가 $y=f(x)$를 따라 움직일 때, 호 길은 경로 상에서의 이동 거리입니다.
- ($x(t),y(t)$로 주어지는 운동의 매개변수 형식은 9.3 수업에서 다룹니다.)
- 따라서 이 같은 적분은 곡선의 기하학적 길이와 경로의 이동 거리를 모두 측정합니다.
- 설정 방식은 동일하며, 해석만 달라질 뿐입니다.
호 길이의 피적분함수는 미분값 $f'(x)$를 사용하며, $f(x)$을 사용하지 않습니다.
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그것은 $\sqrt{1+(f'(x))^2}$입니다.
경로 $y=f(x)$를 따라, 호 길이는 또한 이동한 ____를 측정합니다.
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호 길이 = 경로를 따라 이동한 거리.
피적분함수는 $\sqrt{1+(f'(x))^2}$ — 미분이 제곱되어 있고, 루트 안쪽에 $\boldsymbol{+1}$이 있으며 바깥쪽에 없습니다. $\sqrt{1+f(x)^2}$(대신 $f$를 사용하여 $f'$를 사용함)를 쓰거나 $+1$를 잊지 마십시오. 그리고 적분하기 전에 전체 식이 하나의 제곱근 아래에 있습니다.
$y=\tfrac23 x^{3/2}$의 호 길을 $x=0$부터 $x=3$까지 설정하십시오.
- $f'(x)=x^{1/2}$, 따라서 $\big(f'(x)\big)^2=x$.
- $L=\displaystyle\int_0^3 \sqrt{1+x}\,dx=\Big[\tfrac23(1+x)^{3/2}\Big]_0^3=\tfrac23(8-1)=\tfrac{14}{3}$.
$y=f(x)$의 호 길은 $[a,b]$에서 $L=\int_a^b\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx$ — 작은 빗변 $\sqrt{1+(f')^2}\,dx$를 합산합니다. 미분값을 제곱하고, 루트 안에 **$1$**을 더한 뒤 적분하십시오. 또한 경로상의 이동 거리도 제공합니다.