| English | 의미 |
|---|---|
| washer/ˈwɒʃə/ | 와셔 |
| washer method/ˈwɒʃə ˈmeθəd/ | 와셔법 |
| inner radius/ˈɪnə ˈreɪdɪəs/ | 내반경 |
| outer radius/ˈaʊtə ˈreɪdɪəs/ | 외반경 |
구멍이 있는 원판
- 두 곡선 사이에 간격이 있는 영역을 회전할 때, 각 단면은 빈 원판이 아니라 고리 형태가 됩니다.
- 이 고리(원형 구멍이 뚫린 원판)는 와셔(washer) 라고 합니다.
- 그 면적은 큰 원에서 작은 원을 뺀 값입니다: $\pi R^2-\pi r^2$.
- 와셔들을 합산하는 것을 와셔법이라고 합니다.
와셔(디스크 대신)가 나타나는 경우는...
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간격이 구멍을 남김 → 와셔가 됩니다.
바깥 반지름에서 안쪽 반지름을 뺍니다
- 각 와셔에는 바깥 반지름 $R$(먼 곡선)와 안쪽 반지름 $r$(근접 곡선)가 있습니다.
- 면적이 $\pi\big(R^2-r^2\big)$이므로:
-
$$V=\pi\int_a^b \Big(\big[R(x)\big]^2-\big[r(x)\big]^2\Big)\,dx$$
- $x$축을 중심으로 회전할 때, $R$과 $r$는 두 곡선에서 축까지의 거리입니다.
두 곡선이 고리를 만듭니다
y = ax² + bx
$y=x$과 $y=\sqrt x$ 사이에는 축으로부터 간격이 있어 — 회전하면 외경 $\sqrt x$, 내경 $x$인 와셔가 만들어집니다.
와셔법의 부피는...
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큰 원 minus 작은 원: $\pi(R^2-r^2)$.
와셔에서 $R$은 ____ 반지름(먼 곡선까지)이고 $r$은 내경 반지름입니다.
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먼 곡선까지는 외경, 가까운 곡선까지는 내경.
$R$과 $r$ 식별하기
- $R$(바깥)는 축에서 더 먼 곡선으로부터, $r$(안쪽)는 더 가까운 곡선으로부터得来합니다.
- $y=f(x)$(위)와 $y=g(x)$(아래) 사이의 영역을 $x$축을 중심으로 회전할 때: $R=f(x)$, $r=g(x)$.
- 아래쪽 곡선이 축에 닿지 않으므로 구멍이 생깁니다.
- 뺄기 전에 각 반지름을 별도로 제곱하세요.
상단 곡선 $y=\sqrt x$와 하단 곡선 $y=x$ 사이의 영역을 $x$축을 중심으로 회전할 때, 바깥 반지름은...
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축에서 더 먼 곡선 $\sqrt x$이 외경 반지름입니다.
먼저 제곱, سپس 뺍니다
- 면적은 $\pi(R^2-r^2)$이며, $\pi(R-r)^2$이 아닙니다 — 뺄기 전에 각 반지름을 제곱하세요.
- $(R-r)^2$는 잘못된 교차 항을 포함하고 잘못된 부피를 줄 것입니다.
- 따라서 $R^2$와 $r^2$을 각각 계산한 후 뺀 뒤, 적분하고 $\pi$를 곱하세요.
- 이것이 가장 흔한 와셔 오류입니다.
와셔 피적분함수 $R^2-r^2$은 $(R-r)^2$과 같습니다.
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먼저 각 반지름을 제곱해야 합니다; $(R-r)^2$은 틀렸습니다.
$R=\sqrt x$, $r=x$ on $[0,1]$: $V=\pi\int_0^1 (x-x^2)\,dx=$
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$\pi(\tfrac12-\tfrac13)=\tfrac{\pi}{6}$.
와셔 피적분함수는 $R^2-r^2$이며, $(R-r)^2$이 아닙니다 — 뺄기 전에 반지름을 제곱하세요. 또한 바깥 반지름(먼 곡선)인 $R$와 안쪽 반지름(근접 곡선)인 $r$를 구분하세요. 이 둘을 바꾸거나, $(R-r)^2$를 사용하면 모두 잘못된 부피가 나옵니다. 와셔는 영역과 축 사이에 간격이 있을 때만 나타납니다.
$y=x$(아래)과 $y=\sqrt x$(위) 사이의 영역을 $[0,1]$에서 $x$축을 중심으로 회전시키십시오.
- 바깥 반지름 $R=\sqrt x$, 안쪽 반지름 $r=x$($[0,1]$에서, $\sqrt x\ge x$ 기준).
- $V=\pi\displaystyle\int_0^1\big((\sqrt x)^2-x^2\big)\,dx=\pi\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\pi\Big(\tfrac12-\tfrac13\Big)=\tfrac{\pi}{6}$.
와셔법은 간격이 있는 영역을 고리로 회전시킵니다: $V=\pi\int_a^b\big(R^2-r^2\big)\,dx$, 여기서 $R$은 바깥 반지름(먼 곡선)이고 $r$는 안쪽 반지름(근접 곡선)입니다. 뺄기 전에 각 반지름을 제곱하세요 — $R^2-r^2$, 절대 $(R-r)^2$가 아닙니다.