| English | 의미 |
|---|---|
| area between two curves/ˈeərɪə bɪˈtwiːn tuː kɜːvz/ | 두 곡선 사이의 면적 |
The area trapped between two curves
- A single integral gives the area between a curve and the $x$-axis. What about the area between two curves?
- Slice the region into thin vertical strips; each strip's height is the gap between the curves.
- Add up (integrate) those heights across the interval — that's the area between two curves 曲线间面积.
- The recipe is "top minus bottom, integrated."
Top minus bottom
- If $f$ is the upper curve and $g$ the lower on $[a,b]$:
-
$$A=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)\,dx$$
- Each vertical strip has height $f(x)-g(x)$ and width $dx$.
- Always subtract upper minus lower, so the height (and the area) stays positive.
포물선 위에 있는 직선
y = ax² + bx + c
교차점 사이에서는 직선이 포물선 위에 위치하므로, 수직 간격(적분)이 폐구간의 면적이 됩니다.
상한 곡선 $f$과 하한 곡선 $g$ 사이의 영역은 $[a,b]$에서 ...입니다.
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상단에서 하단을 뺀 후 적분합니다.
Find the limits from intersections
- The bounds $a$ and $b$ are usually where the curves cross — set $f(x)=g(x)$ and solve.
- Those intersection $x$-values are the left and right edges of the enclosed region.
- Between them, decide which curve is on top (test a point).
- Then integrate the top-minus-bottom difference over $[a,b]$.
$y=x+2$와 $y=x^2$은 어디에서 교차합니까?
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$x^2-x-2=0\Rightarrow x=-1,2$.
교차점 사이에서 어떤 곡선이 위쪽에 있는지 판단하려면...
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테스트 점을 대입하여 높이를 비교합니다.
적분의 경계는 두 곡선을 ____하여 얻습니다.
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$f(x)=g(x)$에 대해 $x$-값의 교차점을 구하십시오.
It works even below the axis
- Because you take upper minus lower, the formula handles regions below the $x$-axis automatically.
- The $-g(x)$ term lifts everything, so no separate "signed area" bookkeeping is needed.
- A region entirely under the axis still gives a positive area with top-minus-bottom.
- That's the advantage of the gap-height approach.
$y=x+2$와 $y=x^2$ 사이의 면적은 $\int_{-1}^2 (x+2-x^2)\,dx$입니다. 계산하십시오(소수점 형식).
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적분 결과는 $\tfrac92=4.5$입니다.
하단에서 상단을 빼면 실제 면적의 음수가 됩니다.
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순서를 뒤바꾸면 부호가 바뀝니다.
Always subtract upper minus lower — if you reverse it, you get a negative of the true area. Check which curve is on top by testing an $x$-value between the intersections (they can swap, which is the next lesson). And the limits come from setting the curves equal, not from the $x$-axis.
Find the area between $y=x+2$ and $y=x^2$.
- Intersections: $x^2=x+2\Rightarrow x^2-x-2=0\Rightarrow x=-1,2$.
- On $(-1,2)$ the line is on top (test $x=0$: line $=2>0=$ parabola).
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{2}\big((x+2)-x^2\big)\,dx=\Big[\tfrac{x^2}{2}+2x-\tfrac{x^3}{3}\Big]_{-1}^{2}=\tfrac{9}{2}$.
The area between two curves (functions of $x$) is $A=\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx$, integrating upper minus lower over vertical strips. Find $a,b$ where the curves intersect, decide which is on top, and integrate the gap. Top-minus-bottom keeps the area positive automatically.