| English | 의미 |
|---|---|
| position/pəˈzɪʃn/ | 위치 |
| Displacement/dɪˈspleɪsmənt/ | 변위 |
적분을 통한 운동
- Unit 4는 미분을 통해 위치 → 속도 → 가속도로 진행했습니다. 적분은 역방향입니다.
- 가속도를 적분하여 속도를 회복하고, 속도를 적분하여 위치를 회복합니다.
- 각 단계에서 비율을 적분하여 그것이 변화하는 양을 얻습니다.
- 즉, 적분은 비율로부터 운동 이야기를 재건합니다.
To recover position from velocity you...
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Position $=$ initial $+\int v\,dt$.
체인 위로 올라가기
- 가속도에서 속도: $v(t)=v(t_0)+\displaystyle\int_{t_0}^{t} a(s)\,ds$.
- 속도에서 위치: $s(t)=s(t_0)+\displaystyle\int_{t_0}^{t} v(s)\,ds$.
- 각각 초기값(initial value)(적분 상수의 위장)이 필요합니다.
- 비율을 적분하고 시작점을 더하세요.
Recovering position from velocity requires an ____ value to fix the constant.
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Position $=$ initial position $+\int v\,dt$.
변위 vs 거리
- $[a,b]$区间的 변위(displacement) 는 속도의 부호 있는 적분입니다: $\displaystyle\int_a^b v(t)\,dt$ — 위치의 순 변화량.
- 총 거리(total distance) 는 속력(speed) $|v|$의 적분입니다: $\displaystyle\int_a^b |v(t)|\,dt$ — 항상 뺍니다.
- 물체가 방향을 바꾸면 변위와 거리가 다릅니다.
- 변위는 실제 운동 후에도 0이 될 수 있지만, 이동 거리는 그렇지 않다(움직이지 않은 경우를 제외하고).
Signed area under velocity
y = t − 2 (velocity)
The signed area under $v(t)$ is displacement; taking absolute value on each piece (split at $v=0$) gives distance.
For $v(t)=t-2$ on $[0,3]$, find the displacement $\int_0^3 (t-2)\,dt$.
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$\tfrac92-6=-\tfrac32$.
Displacement can be zero even when the object has actually moved.
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Out-and-back gives zero net displacement but positive distance.
이동 거리는 전환점에서의 분할을 의미한다
- 총 이동 거리를 구하려면 $v=0$(전환점)이 어디인지 찾아서 $|v|$을 구간별로 적분해야 한다.
- 각 구간에서 $v$은 부호가 일정하므로, $|v|$은 단순히 $\pm v$과 같다.
- 각 구간의 절대값 면적을 더한다 — 상쇄는 없다.
- 이 "$v=0$에서의 분할" 단계가 바로 거리 $\neq$과 변위 사이의 차이를 만드는 것입니다.
For $v(t)=t-2$ on $[0,3]$, total distance is $\int_0^3 |t-2|\,dt$. Compute it.
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Split at $t=2$: $2+\tfrac12=\tfrac52$.
Total distance traveled over $[a,b]$ is...
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Integrate speed $|v|$; splitting at turning points is required.
변위($\int v\,dt$)는 부호가 있으며 움직인 후에도 0이 될 수 있습니다. 총 이동 거리($\int|v|\,dt$)는 절대 음수가 아닙니다. 이동 거리를 구하기 위해서는 $v=0$의 부호가 바뀌는 구간을 나누어 절대값을 더해야 합니다. 단순히 $v$을 적분한 뒤 끝에서 절댓값을 취하는 방식으로는 안 됩니다. 또한 위치/속도를 복원하기 위해서는 초기 값이 필요합니다.
입자가 $v(t)=t-2$ (m/s)으로 $[0,3]$에 있습니다. 변위와 총 이동 거리를 구하시오.
- 변위: $\displaystyle\int_0^3 (t-2)\,dt=\Big[\tfrac{t^2}{2}-2t\Big]_0^3=\tfrac92-6=-\tfrac32$ m.
- $v=0$ at $t=2$: $[0,2)$에서는 음수, $(2,3]$에서는 양수입니다.
- 이동 거리: $\displaystyle\int_0^2 |t-2|\,dt+\int_2^3|t-2|\,dt = 2 + \tfrac12 = \tfrac52$ m.
적분은 운동을 재구성합니다: 속도 $=$ 초기 $+\int a\,dt$, 위치 $=$ 초기 $+\int v\,dt$. $[a,b]$ 구간의 변위는 부호가 있는 $\int_a^b v\,dt$이며, 총 이동 거리는 $\int_a^b|v|\,dt$입니다 — 전환점($v=0$)에서 구간을 나누어 절댓값을 더하십시오.