| English | 의미 |
|---|---|
| exponential growth/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ/ | 지수 성장 |
| exponential model/ˌekspəˈnenʃl ˈmɒdl/ | 지수 모델 |
| exponential decay/ˌekspəˈnenʃl dɪˈkeɪ/ | 지수 감쇠 |
지수 성장의 방정식
- 어디나 나타나는 하나의 미분방정식이 있습니다: $\dfrac{dy}{dt}=ky$ — "비율이 양에 비례함."
- 그 해는 유명한 지수 모델(exponential model) $y=y_0 e^{kt}$입니다.
- 인구, 방사성 붕괴, 복리, 냉각 — 모두 이 패턴을 따릅니다.
- 한 번만 풀면 실제 세계의 방대한 해의_family를 보유하게 됩니다.
$y=y_0 e^{kt}$ 유도하기
- 변수 분리: $\dfrac{1}{y}\,dy = k\,dt$. 적분: $\ln|y|=kt+C$.
- 지수함수로 변환: $y = e^{kt+C}=A\,e^{kt}$.
- 초기 양 $y(0)=y_0$를 적용: $A=y_0$.
- 해: $y=y_0 e^{kt}$ — 초기 값에 $e^{kt}$을 곱한 것.
$\dfrac{dy}{dt}=ky$와 $y(0)=y_0$에 대한 해는...
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분리하고 적분: $y=y_0 e^{kt}$.
$k>0$일 때의 성장
- $k>0$라면, $e^{kt}$은 증가하므로 $y$는 지수 성장을 보입니다.
- 양은 계속 배가되며, 커질수록 더 빠르게 증가합니다.
- $k$는 (연속) 성장률이며, 더 큰 $k$은 더 빠른 성장을 의미합니다.
- 예시: 통제되지 않은 인구, 복리.
성장 (k>0) vs 감쇠 (k<0)
y = a·e^{bx}
$y=y_0 e^{kt}$가 $k>0$일 때는 증가하고 $k<0$일 때는 0으로 감소합니다 — $k$의 부호가 거동을 결정합니다.
$y=y_0 e^{kt}$에서 지수 성장은 ...일 때 발생합니다.
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$k>0$가 $e^{kt}$을 증가시 → 성장.
$P=500e^{0.3t}$에 대해, $P(0)$(초기 양)을 찾으세요.
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$P(0)=500 e^0=500$.
$k<0$일 때의 감쇠
- $k<0$라면, $e^{kt}$은 감소하므로 $y$는 **지수 감쇠(exponential decay)**를 보입니다.
- 양은 $0$로 수렴하지만 결코 그 값에 도달하지는 못합니다.
- 방사성 붕괴 및 냉각 차이는 $k<0$를 따릅니다.
- 크기 $|k|$는 감쇠 속도를 결정합니다(반감기와 연결됨).
지수 감쇠는 $k$가 ____ (它的符号)일 때 발생합니다.
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$k<0$가 $e^{kt}$을 $0$로 수축시킵니다.
모델 $y=y_0 e^{kt}$는 일정한 속도 $\dfrac{dy}{dt}=c$이 있는 상황에 적용됩니다.
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일정한 속도는 직선을 주지만, 지수 모델은 속도 ∝ 양이 필요합니다.
어떤 상황이 $\dfrac{dy}{dt}=ky$로 모델링되는가요?
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첫 세 가지는 양에 비례하는 속도를 가지며, 일정한 속도의 파이프는 그렇지 않습니다.
지수 모델은 오직 $\frac{dy}{dt}=ky$(량에 비례하는 속도)에서 유래합니다. 상수 속도 상황에는 $y=y_0 e^{kt}$을 적용하지 마십시오 ($\frac{dy}{dt}=c$, 이는 직선을 만듭니다). 그리고 $k$의 부호는 모든 것을 결정합니다: $k>0$는 증가하고, $k<0$는 감쇠합니다 — 부호가 잘못되면 전체 행동이 반대가 됩니다.
$500$ 박테리아 집단이 $\dfrac{dP}{dt}=0.3P$(시간 단위: $t$)으로 자라날 때, $P(t)$과 $P(4)$를 구하시오.
- 모델: $P=P_0 e^{kt}=500\,e^{0.3t}$.
- $t=4$ 시: $P(4)=500\,e^{1.2}\approx500(3.32)\approx1660$ 세균.
- $k=0.3>0$이므로, 이는 지수 성장입니다.
미분방정식 $\frac{dy}{dt}=ky$는 지수 모델 $y=y_0 e^{kt}$을 주는데, 여기서 $y_0$는 초기 양입니다. $k>0$ → 지수 성장; $k<0$ → 지수 감쇠. 비율이 현재 양에 비례할 때만 적용됩니다.