| English | 의미 |
|---|---|
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | 초기 조건 |
| particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/ | 특수해 |
유일한 하나의 곡선 고정하기
- 일반 해는 상수 $C$를 가진 族입니다. 현실은 하나의 곡선을 원합니다.
- 초기 조건(initial condition) — 알려진 점 $\big(x_0,y_0\big)$ — 이 단일 구성원을 선택합니다.
- 방정식을 일반적으로 푼 다음, 그 점을 사용하여 $C$를 구하십시오.
- 이 결과가 해당 상황에 대한 특이해(particular solution) 입니다.
초기조건에 의해 선된 단일 곡선은 ____ 해입니다.
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일반解의族 중 하나.
완전한 절차
- 1. 변수를 분리하고 양변을 적분하십시오(상수 $+C$ 포함) — 일반 해를 얻음.
- 2. 초기 조건 $\big(x_0,y_0\big)$를 대입하여 $C$을 구하십시오.
- 3. 구한 $C$를 다시 대입하고 단순화하십시오.
- 4. 명시적으로 풀도록 요청받았다면, $y$에 대해explicitly 풀십시오.
초기점은 하나의 곡선을 선택합니다
일반해는 전체族이며, 초기조건 $y(x_0)=y_0$는 그 점을 지나는 단일 곡선을 선택합니다.
초기 조건을 적용하여 $C$를 구합니다...
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먼저 일반해를 얻은 후, 점으로 $C$를 구하세요.
특이해를 위한 단계 순서를 정리하십시오.
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분리, 적분, 점 적용, 단순화.
worked 특이해 예제
- 식 $\dfrac{dy}{dx}=xy$를 점 $y(0)=3$을 사용하여 풀십시오.
- 일반 해(전 레슨): $y=A\,e^{x^2/2}$.
- 점 적용: $3 = A\,e^{0}=A$이므로 $A=3$.
- 특이해: $y=3\,e^{x^2/2}$.
$y=x^2+C$ with $y(1)=5$에 대해 $C$을 구하시오.
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$5=1+C\Rightarrow C=4$.
특해해는 $y=x^2+4$입니다. $y(3)$를 구하십시오.
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$3^2+4=13$.
$\dfrac{dy}{dx}=xy$와 $y(0)=3$(일반 $y=Ae^{x^2/2}$)에 대해, 특이해는...
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$y(0)=A=3$, 따라서 $y=3e^{x^2/2}$입니다.
정의역(domain) 주의
- $y$에 대해 푸는 과정은 $\ln$, 루트, 또는 역수를 포함할 수 있으므로 해가 유효한 영역을 유의하십시오.
- 특이해는 보통 $x_0$를 포함하는 구간에서 정의되며, 반드시 모든 실수 $x$에서 유효한 것은 아닙니다.
- 부호나 절댓값은 주어진 점을 사용하여 해결해야 할 수 있습니다(예: $y_0>0$는 $+$ 가지 branch를 선택).
- 대수적 제한으로 인해 정의역이 제한될 때는 명시하여 표기하십시오.
적분 후에 초기 조건을 적용하여 $C$를 구합니다. 적분 전에 적용하면 안 됩니다. 또한 이 점을 사용하여 부호 또는 분기의 모호함을 해결하세요: $\ln|y|=\dots$와 $y_0>0$인 경우, 절댓값을 $y>0$로 줄일 수 있습니다. separation of variables(변수 분리법)의 경고처럼 너무 일찍 점을 대입하면 일반 해의_family를 잃게 됩니다.
$\dfrac{dy}{dx}=2x$를 $y(1)=5$로 풀이하시오.
- 일반 해: $y=x^2+C$.
- $y(1)=5$ 적용: $5 = 1^2 + C \Rightarrow C=4$.
- 특이해: $y=x^2+4$.
**특정해(particular solution)**는 **초기 조건(initial condition)**에 의해 고정된 일반 해의.family 중 하나입니다. 일반적으로 풀이하고(적분하며, $+C$를 유지하고), 점 $\big(x_0,y_0\big)$를 대입하여 $C$를 구한 뒤 단순화하세요. 부호/분기의 문제를 해결하고 유효한 영역(domain)을 명시하는 데 이 점을 사용하세요.