| English | 의미 |
|---|---|
| Euler's method/ˈɔɪləz ˈmeθəd/ | 오일러법 |
| step size/step saɪz/ | 보간 거리 |
Walking a solution one small step at a time
- Not every differential equation can be solved with a formula — but you can still approximate the solution numerically.
- Euler's method 欧拉法 follows the slope field in tiny straight steps from a starting point.
- At each point, use the differential equation to get the slope, then step forward along it.
- Repeat, and you trace an approximate solution curve.
The update rule
- Given $\dfrac{dy}{dx}=f(x,y)$ and a start $(x_0,y_0)$, take a fixed step size 步长 $h$:
-
$$y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n),\qquad x_{n+1}=x_n+h$$
- The new $y$ = old $y$ + (slope there) × (step $h$).
- It's "current value plus slope times step" — a tangent-line jump.
기울기장(slope field)을 따라 단계별로 이동
오일러 방법은 기울기장을 따라 짧은 직선 단계를 취합니다 — 작은 단계가 실제 곡선에 더 잘 밀착합니다.
오일러 업데이트 규칙은 $y_{n+1}=$입니다.
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이전 $y$ + 기울기 × 단계 크기.
각 오일러 단계에서 사용되는 고정된 증분 $h$를 ____ 크기라고 합니다.
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$x$는 각 반복에서 단계 크기 $h$만큼 진행됩니다.
Marching through a table
- Organize the work in a table: at each row, read $(x_n,y_n)$, compute the slope $f(x_n,y_n)$, then get $y_{n+1}$.
- Advance $x$ by $h$ each row and repeat until you reach the target $x$.
- Each step is just arithmetic; the differential equation supplies the slope.
- After a few rows you have an approximate $y$ at the target.
$\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, $h=0.5$에 대해: $(0,1)$에서의 기울기는 $1$입니다. $y_1$를 구하십시오.
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$1+0.5(1)=1.5$.
계속하기 ($y_1=1.5$에서 $x=0.5$, 기울기 $=2$), $y(1)\approx y_2$를 구하십시오.
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$1.5+0.5(2)=2.5$.
Accuracy and step size
- Euler's method is only an approximation — it follows straight tangents, so it drifts from the true curve.
- A smaller step size $h$ gives a more accurate estimate (but more steps).
- On a concave-up curve Euler tends to underestimate; concave-down, overestimate.
- More steps, less error — the classic accuracy trade-off.
더 작은 단계 크기 $h$를 사용하면 오일러의 추정값이 일반적으로 ...
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작은 단계가 실제 곡선으로부터 더 ít drift(편차)합니다.
초기 기울기를 재사용하지 않고 각 새로운 점에서 기울기를 다시 계산해야 합니다.
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기울기 $f(x_n,y_n)$는 매 단계마다 변합니다.
Use the slope at the current point $(x_n,y_n)$ for each step, not a fixed slope. And each step updates both $x$ (by $h$) and $y$ (by $h\cdot f$). A common error is reusing the initial slope for every step — the slope must be recomputed at each new point.
Approximate $y(1)$ for $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, with step $h=0.5$.
- Step 1: slope at $(0,1)$ is $0+1=1$; $y_1=1+0.5(1)=1.5$, $x_1=0.5$.
- Step 2: slope at $(0.5,1.5)$ is $0.5+1.5=2$; $y_2=1.5+0.5(2)=2.5$, $x_2=1$.
- So $y(1)\approx 2.5$.
Euler's method approximates a differential equation's solution by stepping along tangents: $y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n)$ with fixed step size $h$, recomputing the slope at each point. It's approximate (straight steps drift from the curve); a smaller $h$ improves accuracy.