| English | 의미 |
|---|---|
| solution curve/səˈluːʃn kɜːv/ | 해 곡선 |
| long-term behavior/lɒŋ tɜːm bɪˈheɪvjə/ | 장기적 성질 |
화살표를 따라 곡선으로 가기
- 기울기장은 접선 방향의 집합이며, 해 곡선은 이를 통과합니다.
- 주어진 점에서 시작하여 항상 Nearby dashes에 접선하도록 이동하십시오.
- 그 점을 지나가는 특해를 따라 그린 곡선입니다.
- 공식이 필요 없습니다—필드直接从 reasoning about solutions.
A solution curve through the slope field must always stay...
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It follows the tangent directions.
점을 통한 해 스케칭
- 연필을 주어진 점에 두고 local slope를 따라, dashes가 회전함에 따라 곡선을 그리십시오.
- 대시선(등기선)을 잘못된 각도로 건너지 말고, 항상 대시선과 평행하게 이동하십시오.
- 서로 다른 시작점은 해의族(패밀리)에서 서로 다른 구성원을 제공합니다.
- 대시선은 흐름처럼 작용하며, 당신의 곡선은 그 흐름에 떠 있는 배와 같습니다.
Thread a curve through the field
A solution curve stays tangent to every dash it passes — drag the start point and watch it follow the field.
패턴에서의 장기적 행동
- 오른쪽 끝(큰 $x$ 또는 $t$)을 바라보고 해의 장기적 행동을 읽으십시오.
- 대시선이 수평선으로 평평해지는가? 해들이 그 값(평형점)에 수렴합니다.
- 무한히 가파르게 위로 치솟는가? 해들은 무한대로 증가합니다.
- 전체 필드의 형태는 해들이 어디로 귀결되는지 예측합니다.
The overall pattern of a slope field forecasts the ____ behavior of solutions.
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Read where the dashes send solutions as $x$ grows.
평형점: 안정적还是不穩定 (안정적或不稳定)
- 대시선의 수평 줄무늬는 평형점입니다 — 일정한 해를 의미합니다.
- 인접한 해들이 이 선을 향해 휘어지는 경우, 평형점은 안정적입니다(흡인자).
- 반대로 멀어지는 방향으로 휘어진다면 불안정합니다.
- 화살표가 선을 향하는지 멀어지는지를 확인하면 이를 알 수 있습니다.
Two different solution curves of the same equation can cross each other.
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Each point has one slope, so solution curves never cross.
For $\dfrac{dy}{dt}=y$, the equilibrium $y=0$ is...
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Above $0$ slopes push up, below they push down → away from $0$.
A horizontal row of dashes in a slope field represents a...
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Slope $0$ everywhere along it → a constant solution.
Select all true statements about equilibria.
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Equilibria can be at any $y$ where the rate is $0$; toward = stable, away = unstable.
해 곡선은 기하 필드의 기울기에 반드시 접선해야 합니다. 즉, 대시선을 따라 이동할 뿐 대시선을 가로지르지 않습니다. 또한 같은 방정식의 두 개의 다른 해 곡선은 절대 교차하지 않습니다(각 점은 오직 하나의 기울기를 가집니다). 만약 스케치된 곡선들이 교차한다면, 그 그림은 틀린 것입니다.
$\dfrac{dy}{dt}=y$에 대해, 점 $(0,1)$와 $(0,-1)$을 지나는 해들을 설명하십시오.
- 직선 $y=0$는 평형점입니다(여기서 기울기는 $0$).
- 위쪽($y>0$)에서는 기울기가 양수 → 점 $(0,1)$을 지나는 해는 $0$에서 증가하여 멀어집니다.
- 아래쪽($y<0$)에서는 기울기가 음수 → 점 $(0,-1)$을 지나는 해는 $0$에서 떨어져 내려갑니다.
- 따라서 $y=0$는 불안정한 평형점입니다 — 해들이 여기서 도망칩니다.
기하 필드를 분석하려면, 주어진 점을 지나 대시선에 접선하도록 해 곡선을 스케치하십시오. 필드의 전체 패턴은 장기적 행동을 보여줍니다 — 해들은 평형점(안정적)에 수렴하거나, 또는 دور(불안정)으로 멀어질 수 있습니다. 해 곡선들은 절대 교차하지 않습니다.