| English | 의미 |
|---|---|
| solution/səˈluːʃn/ | 해 |
이 함수가 실제로 해인가?
- 미분방정식을 풀기 전에 제안된 답안을 검증할 수 있어야 합니다.
- 미분방정식의 해란 방정식을 참으로 만드는 함수입니다.
- 검증 과정은 순수한 기계적 작업입니다: 후보 함수를 미분하여 대입하십시오.
- 양변이 모든 $x$에서 일치하면 해이며, 그렇지 않으면 해가 아닙니다.
검증 레시피
- 1. 후보 함수를 취하고 그 미분값을 계산하십시오.
- 2. 함수와 그 미분값들을 미분방정식에 대입하십시오.
- 3. 양변을 단순화하여 동일한지 확인하십시오 ($x$에 대한 항등식으로서).
- 적분이 필요 없습니다—검증하는 것은 단순히 미분하고 대입하는 것입니다.
후보 해를 검증하려면, 당신은...
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후보 해를 미분하고, 대입하여 양변이 일치하는지 확인하십시오.
worked check(작은 예제)
- $y=e^{3x}$가 $\dfrac{dy}{dx}=3y$의 해인가?
- 미분: $\dfrac{dy}{dx}=3e^{3x}$.
- 우변에 대입하면: $3y=3e^{3x}$.
- 좌변 $=$ 우변 ($3e^{3x}=3e^{3x}$), 따라서 네, $y=e^{3x}$는 해입니다. ✓
dy/dx = ky의 해
각 지수함수 $y=Ce^{kx}$는 기울기 장을 관통합니다 — 하나를 검증하면 그 미분계수가 $ky$와 일치함을 확인할 수 있습니다.
$y=e^{3x}$은 $\dfrac{dy}{dx}=3y$의 해입니다.
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$\frac{dy}{dx}=3e^{3x}=3y$. ✓
해임을 확인하려면, 하나의 값뿐만 아니라 $x$의 ____ 값에 대해 양변이 같아야 합니다.
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해는 방정식을 항등적으로 만족합니다.
일반 해와 특이 해
- $y=Ce^{3x}$ (어떤 상수 $C$을 포함하더라도) 또한 $\dfrac{dy}{dx}=3y$의 해입니다—전체 패밀리가 일반 해입니다.
- 특정 $C$을 선택하면 특이 해를 얻습니다.
- 검증은 두 경우 모두 동일하게 적용됩니다: 미분하여 방정식이 성립함을 확인하십시오.
- 상수는 미분 과정에서 그대로 유지되므로 검증은 여전히 균형을 이룹니다.
주어진 해를 검증하려면 미분방정식을 적분해야 합니다.
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검증은 미분-대입이며, 적분이 필요 없습니다.
어떤 상수 $C$에 대해 $y=Ce^{3x}$이 $\dfrac{dy}{dx}=3y$의 해가 됩니까?
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$\frac{dy}{dx}=3Ce^{3x}=3y$ is for all $C$ — 일반해입니다.
$y=x^2+C$은 $\dfrac{dy}{dx}=2x$의 해입니까?
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$\frac{dy}{dx}=2x$ regardless of $C$.
검증하는 것은 해결하는 것이 아닙니다. 주어진 후보를 단순히 확인할 뿐이므로 적분 과정은 포함되지 않습니다. 함수와 그 미분값을 방정식에 대입하여, 특정 한 점이 아닌 모든 $x$에 대해 양변이 일치함을 확인하십시오. 하나의 $x$에서만 일치한다면 충분하지 않습니다.
$y=x^2+C$가 $\dfrac{dy}{dx}=2x$의 해임을 검증하십시오.
- 미분하면: $\dfrac{dy}{dx}=2x$ ($+C$ 소멸됨).
- 미분방정식은 $\dfrac{dy}{dx}=2x$라고 말합니다.
- 양변이 모두 $2x$로 같으므로, $y=x^2+C$은 모든 상수 $C$에 대해 해입니다. ✓
미분방정식의 해를 검증하려면 후보를 미분하고 대입하여(그 미분값과 함께) 방정식에 넣으십시오; 모든 $x$에서 양변이 동일할 때만 해입니다. 적분이 필요 없습니다—검증은 미분하고 확인하는 것입니다. 상수 $C$을 포함하는 패밀리가 일반 해입니다.