| English | 의미 |
|---|---|
| improper integral/ɪmˈprɒpə ˈɪntɪɡrəl/ | 부정적분 |
| infinite limit/ˈɪnfɪnət ˈlɪmɪt/ | 무한대 극한 |
| unbounded integrand/ʌnˈbaʊndɪd ˈɪntɪɡrænd/ | 유계하지 않은 피적분함수 |
무한(또는 무경계)에 대한 적분
- 정상적인 유한 적분은 유한한 적분 구간과 유한한 피적분함수를 가집니다. ** improper integral(부정적분)** 은 그 중 하나를 깨뜨립니다。
- improper 적분에서 두 가지 문제가 발생할 수 있습니다: 무한적분 한계($\int_1^\infty$와 같은 경우) 또는 비유계 피적분함수(구간 내부의 수직渐近선).
- 단순히 "$\infty$를 대입"하거나 발산점에서 계산할 수 없으므로, 극한을 사용해야 합니다.
- 해당 극한이 유한한 수이면 적분은 수렴하고, 그렇지 않으면 발산합니다.
다음과 같은 경우 적분이 부정적분입니다...
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무한한 한계 또는 무계인 피적분함수 → 부정적분.
부정적분을 평가하려면的原反函数(원시함수)에 $\infty$를 직접 대입할 수 있습니다.
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대신 극한을 취해야 합니다.
무한적분 한계 → 극한으로 처리하기
- 무한한 한계를 변수로 대체하여 적분한 후, 그 변수가 무한대로 가는 극한을 구합니다:
-
$$\int_a^\infty f(x)\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f(x)\,dx$$
- ordinary 적분을 $b$까지 계산한 후, $b\to\infty$로 가는 극한을 취합니다.
- 극한이 유한하면, 이 improper 적분은 수렴하여 그 값을 가집니다.
1/x² 아래 무한 꼬리
y = 1/x²
$1/x^2$의 $1$부터 $\infty$까지 아래 면적은 유한하며($=1$), 영역이 끝나지 않음에도 불구하고 — 수렴하는 부정적분입니다.
$\displaystyle\int_a^\infty f\,dx$는 다음과 같이 정의됩니다...
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그것은 proper integral(정적분)의 극한입니다.
비유계 피적분함수 → 문제 지점에서의 극한
- $f$가 끝점 $c$에서 발산한다면,在那里计算 대신 극한으로 접근합니다:
- $\displaystyle\int_a^c f\,dx=\lim_{t\to c^-}\int_a^t f\,dx$ (또는 반대쪽에서도 동일하게).
- $\int_0^1 \tfrac{1}{\sqrt x}\,dx$는 $0$에서 improper입니다 — $\lim_{t\to0^+}\int_t^1$를 취하십시오.
- 동일한 원리: 극한을 사용하여 특이점에 점진적으로 접근합니다.
$\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx$을 계산하십시오.
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$\lim_{b\to\infty}(1-\tfrac1b)=1$.
수렴 또는 발산
- 수렴: 극한이 유한한 수 — 그 수 자체가 값입니다.
- 발산: 극한이 무한하거나 존재하지 않음 — 적분에 유한한 값이 없습니다.
- 유명한 쌍: $\int_1^\infty\tfrac{1}{x}\,dx$는 발산하지만, $\int_1^\infty\tfrac{1}{x^2}\,dx$은 수렴합니다($1$로).
- 차이점 — 겉보기에는 유사한 피적분함수지만 서로 반대된 결과 — 이것이 핵심입니다.
$\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x}\,dx$는 어떻게 되는가?
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$\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty$ → 발산함.
정의되는 극한이 유한한 수인 부정적분은 ____합니다.
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유한한 극한 → 수렴함.
improper 적분을 normal 적분처럼 취급할 수 없습니다. $\infty$나 발산점을 대입하는 것은 의미 없습니다. 항상 이를 극한으로 다시 쓰고, 그 극한을 계산하십시오. 또한 내부 특이점을 확인하십시오: 피적분함수가 $[a,b]$ 안에서 발산하면, 그 지점에서 적분을 나누어 각 부분을 별도로 처리하십시오.
$\displaystyle\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx$을 계산하십시오.
- 다시 쓰기: $\displaystyle\lim_{b\to\infty}\int_1^b x^{-2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\Big[-\tfrac1x\Big]_1^b$.
- $=\displaystyle\lim_{b\to\infty}\Big(-\tfrac1b+1\Big)=0+1=1$.
- 극한이 유한하므로, 이 적분은 $1$로 수렴합니다.
improper 적분은 무한한 한계 또는 비유계 피적분함수를 가집니다. 이를 proper 적분의 극한으로 다시 씁니다: $\int_a^\infty f=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f$ (또는 특이점에 Approach하는 극한). 극한이 유한하면 수렴하고, 그렇지 않으면 발산합니다.