| English | 의미 |
|---|---|
| completing the square/kəmˈpliːtɪŋ ðə skweə/ | 제곱 완성 |
| polynomial long division/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl lɒŋ dɪˈvɪʒn/ | 다항식 장除法 |
먼저 정리한 뒤 적분
- 어떤有理函数은 기본 원함수 중 어느 것과도 맞지 않습니다—정리하기 전까지는요.
- 두 가지 대수적 도구가顽固한 피적분함수를 준비합니다: 장除法와 제곱 완성. (Note: 'long division' and 'completing the square' are standard math terms in Korean as well, but contextually translated here for educational flow if strictly required. However, since instructions say keep code/math/URLs and translate ordinary subject names. 'Long division' -> 장除法 or Polynomial long division. Given the instruction to translate ordinary subject names: 'Polynomial long division' is often kept or translated as '다항식의 장除法'. Let's stick to natural Korean educational phrasing while keeping the core concept. Actually, standard Korean math text uses '장除法' or '다항식 장除法'. I will use '다항식의 장除法' and '제곱 완성' which are standard.)
- 둘 다 미적분이 아닙니다. 단순히 분수를 더 친숙한 형태로 재구성할 뿐입니다.
- 그러면 기본 규칙이나 알려진 적분으로 작업을 마무리할 수 있습니다.
'분자가 큰' 분수를 위한 장除法
- 분자의 차수가 $\ge$라면 분모의 차수보다 크거나 같아, 이 분수는 **부정분수(improper fraction)**입니다.
- 다항식의 장除法를 사용하여 다항식과 정분수余分으로 분리하세요.
- $\dfrac{x^2}{x+1}=x-1+\dfrac{1}{x+1}$ — 이제 각 조각은 쉽게 적분됩니다.
- $\displaystyle\int\dfrac{x^2}{x+1}\,dx=\dfrac{x^2}{2}-x+\ln|x+1|+C$.
변형할 유리 곡선
y = a / (x − b)
$\tfrac{x^2}{x+1}$ 같은 부정분수는 선분과 작은 나머지의 합으로 변하며, 각部分是 쉽게 적분됩니다.
분자의 차수가 ...일 때 다항식 나눗셈을 사용하십시오.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
부정분수(분자가 큰 분수)는 나눗셈이 필요합니다.
나눗셈은 $\dfrac{x^2}{x+1}=$를 줍니다
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$x^2=(x+1)(x-1)+1$이므로, 상수부는 $x-1$이고 나머지는 $1$입니다.
역삼각함수 형태를 위한 제곱 완성
- $x^2+4x+5$ 같은 분모는 완전제곱수를 숨기고 있습니다: 제곱 완성하여 $(x+2)^2+1$로 만드세요.
- 이 $\dfrac{1}{(x+2)^2+1}$ 형태는 역탄젠트 원함수를 맞춥니다.
- $\displaystyle\int\dfrac{1}{x^2+4x+5}\,dx=\int\dfrac{1}{(x+2)^2+1}\,dx=\arctan(x+2)+C$.
- 제곱완성법은 복잡하게 보이는 이차 분모를 깔끔한 $u^2+a^2$ 패턴으로 만듭니다.
완전제곱식으로 변형하면, $x^2+4x+5=$
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$(x+2)^2=x^2+4x+4$, 따라서 $x^2+4x+5=(x+2)^2+1$입니다.
형식 $\dfrac{1}{(x+2)^2+1}$의 적분은 ____ 함수가 됩니다.
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$\int\tfrac{1}{u^2+1}\,du=\arctan u+C$.
신호 식별하기
- 분자 차수 $\ge$ 분모 차수 → 먼저 장식법을 시도하세요.
- 근이 없는 이차 분모(실근 없음) → 아크탄젠트(arctan) 형태로 제곱완성을 시도하세요.
- 이는 설정 단계이며, 실제 적분은 이후 기본 규칙이나 u-치환으로 수행됩니다.
- 어떤 변형을 사용할지 파악하는 것이 반의 열매입니다.
$\displaystyle\int\dfrac{x^2}{x+1}\,dx=$
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먼저 나누고 나서 $x-1+\tfrac1{x+1}$을 적분하십시오.
변환에 맞는 신호를 맞추십시오: 모든 참인 쌍을 선택하십시오.
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나눗셈은 부정분수에만 해당하며, 둘다 모두 적분 전 변형입니다.
부정분수일 때만 장식을 하세요(분자 차수 $\ge$ 분모의 차수). 정분수를 나누면 아무 소용이 없습니다. 그리고 제곱 완성法 후 상수를 정확하게 유지해야 합니다: $x^2+4x+5=(x+2)^2+1$이어야 하며, $(x+2)^2+5$가 아닙니다. 잘못된 상수는 역탄젠트 매칭을 깨뜨립니다.
$\displaystyle\int\dfrac{x^2}{x+1}\,dx$를 적분합니다.
- 장식법: $\dfrac{x^2}{x+1}=x-1+\dfrac{1}{x+1}$.
- 항별로 적분: $\dfrac{x^2}{2}-x+\ln|x+1|+C$.
- (변형된 각 부분은 기본 원함수 규칙을 사용합니다.)
유한 적분피적분함수가 기본 규칙에 맞지 않을 때, 먼저 변형하십시오: 분모의 차수가 분자의 차수보다 $\ge$인 부정분수에는 다항식 나눗셈을 사용하거나, 환원 불가능한 이차 분모에서는 제곱 완성을 사용하여 아크탄젠트 형태로 만드십시오. 이후 기본 원함수로 마무리하십시오.