| English | 의미 |
|---|---|
| u-substitution/juː ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | 대입법 |
역연쇄 법칙
- 연쇄 법칙은 합성함수의 도함수를 만들었습니다. 적분은 이를 undo해야 합니다.
- u-치환(또는 u-sub)은 연쇄 법칙의 역입니다.
- 합성함수 그리고 그 내부 도함수를 찾아서 재명명함으로써 단순화합니다.
- 이를 숙련하면 sonst 불가능했던 방대한 범위의 적분들이 일상이 됩니다.
u-치환은 어떤 미분 법칙의 역인가요?
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연쇄법칙의 역연산입니다.
내부 함수를 $u$로 명명
- 적분 피적분식(상수 배까지)에도 나타나는 내부 함수 $g(x)$의 도함수 $g'(x)$을 찾으십시오.
- $u=g(x)$ = u라고 두고, then $du=g'(x)\,dx$ = du.
- 전체 적분을 $u$(즉, u)에 대해 다시 쓰세요—복잡한 $x$ 표현이 간단한 $u$ 적분으로 바뀝니다.
- 그 다음 $u$(u)에 대해 적분하고 끝날 때 $u=g(x)$을 다시 대입하세요.
u-치환에 적합한 합성함수
y = ax³ + bx
$2x(x^2+1)^3$와 같은 피적분함수는 내부 함수와 그 도함수를 숨기고 있습니다 — 치환해야 할 신호입니다.
$\int 2x(x^2+1)^3\,dx$에 적합한 선택은 $u=$입니다.
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$u=x^2+1$에는 존재하는 $du=2x\,dx$이 포함되어 있습니다.
깔끔한 예시 패턴
- $\displaystyle\int 2x\,(x^2+1)^3\,dx$. 내부 함수 $u=x^2+1$이므로, $du=2x\,dx$.
- 적분 안의 $2x\,dx$은 정확히 $du$입니다—완벽한 일치입니다.
- 적분은 $\displaystyle\int u^3\,du=\dfrac{u^4}{4}+C$가 됩니다.
- 다시 대입: $\dfrac{(x^2+1)^4}{4}+C$.
$\int 2x(x^2+1)^3\,dx$는 ...와 같습니다.
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$\int u^3\,du=\tfrac{u^4}{4}+C$를 계산한 후, 다시 대입하십시오.
상수나 한계를 처리하세요
- 만약 $du$이 상수 배수만큼 다르다면, 곱하거나 나누어 수정하면 됩니다(예: $x\,dx=\tfrac12\,du$).
- 부정적분의 경우, 평가 전에 다시 $x$으로 대입하든, 또는 한계를 $u$ 값으로 변경하든 두 가지 방법 중 하나를 선택하세요.
- 한계를 변경하는 것이 깔끔합니다: $a,b$을 $u(a),u(b)$로 변환하고 더 이상 $x$으로 돌아오지 마세요.
- 부정적분의 답은 항상 원래 변수 $x$에 대해 끝내야 합니다.
$\int_0^1 3x^2(x^3+1)^2\,dx$를 평가하십시오 ($u=x^3+1$로 두십시오). 소수를 입력하십시오.
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$\int_1^2 u^2\,du=\tfrac{8-1}{3}=\tfrac73\approx2.333$.
올바른 u-치환은 $dx$을 완전히 $du$로 변환하여 여분인 $x$을 남기지 않습니다.
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남아있는 $x$ 또는 $dx$은 고전적인 실수입니다.
적분함수에 내부 함수의 ...가 포함되어 있을 때 u-대치法이 작동합니다.
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내부 도함수 $g'(x)$이 포함되어 있어야 합니다(상수배).
u-치환은 내부 도함수가 존재할 때에만 작동합니다(상수배까지). $g'(x)$이 없으면 임의로 만들어서는 안 됩니다. 그리고 $dx$을 $du$으로 완전히 변환하는 것을 잊지 마세요—남아 있는 $dx$이나 leftover $x$은 고전적인 실수입니다. 부정적분의 경우, 한계를 변경하거나 다시 대입하는 중 하나만 선택하세요. 섞어서 해서는 안 됩니다.
$\displaystyle\int_0^1 3x^2\,(x^3+1)^2\,dx$을 계산하십시오.
- $u=x^3+1$ = u라고 두고, so $du=3x^2\,dx$ = du. Limits: $x=0\Rightarrow u=1$, $x=1\Rightarrow u=2$.
- 적분은 $\displaystyle\int_1^2 u^2\,du=\Big[\tfrac{u^3}{3}\Big]_1^2=\tfrac{8}{3}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{7}{3}$가 됩니다.
u-치환은 연쇄 법칙의 역입니다: $u=g(x)$(내부 함수)을 설정하고, $g'(x)\,dx$을 $du$으로 교체하며, $u$에 대해 적분한 후 다시 대입(또는 부정적분의 경우 한계 변경)하세요. 내부 도함수가 상수배까지 나타나면 작동합니다. 항상 $dx\to du$을 완전히 변환하세요.