| English | 의미 |
|---|---|
| linearity/lɪˈnɪərɪti/ | 선형성 |
적분을 쉽게 만드는 규칙
- 정적분은 깔끔한 대수 연산을 따르며, 한계와 미분이 가진 친절한 규칙들입니다.
- 이 성질들을 이용하면 면적을 다시 계산하지 않고도 적분을 분할, 결합 및 재배열할 수 있습니다.
- 대부분은 "적분 = 부호가 있는 면적"이라는 정의에서 직접 유도됩니다.
- 여기서 소개된 몇 가지 규칙만 익히면, 복잡해 보이는 적분들이 한 단계로 단순화되는 경우가 많습니다.
$\int fg\,dx$ equals $\left(\int f\,dx\right)\left(\int g\,dx\right)$.
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There is no product rule for integrals.
선형성: 합을 나누고 상수를 outside로 빼내기
- 상수 배: $\displaystyle\int_a^b k\,f(x)\,dx = k\int_a^b f(x)\,dx$.
- 합 / 차: $\displaystyle\int_a^b \big(f\pm g\big)\,dx = \int_a^b f\,dx \pm \int_a^b g\,dx$입니다.
- 이 둘을 함께 **선형성(linearity)**이라 합니다 — 항별로 적분하고 계수는 앞에 두세요.
- 미분하듯, 복합식을 한 조각씩 처리하면 됩니다.
Given $\int_0^4 f\,dx=10$ and $\int_0^4 g\,dx=3$, find $\int_0^4 (2f-g)\,dx$.
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$2(10)-3=17$.
너비 0과 한계 순서 바꾸기
- 너비 0: $\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx = 0$ — 구간이 없으므로 면적도 없습니다.
- 한계 순서 바꾸기: $\displaystyle\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$ — 방향을 반대로 하면 부호가 반대가 됩니다.
- 따라서 한계의 순서는 부호를 결정합니다.
- 이 두 규칙은 한계가 이동할 때 계산의 일관성을 유지합니다.
What is $\int_5^5 f(x)\,dx$ for any $f$?
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Zero width interval → $0$.
If $\int_1^4 f\,dx=7$, then $\int_4^1 f\,dx=$
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Swapping limits negates: $-7$.
Select all valid definite-integral properties.
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The first three hold; the product "rule" is false.
구간 분할
- 연속된 구간: $\displaystyle\int_a^c f\,dx = \int_a^b f\,dx + \int_b^c f\,dx$.
- 하나의 적분을 임의의 내부 점 $b$에서 여러 조각으로 나누어 더할 수 있습니다.
- 이는 조각별(piecewise) 피적분함수나 주어진 부분 면적을 사용할 때 필수적입니다.
- 역으로 두 연속된 적분을 하나로 합칠 수도 있습니다.
Split the area at an interior point
y = x²
The area from $a$ to $c$ equals the area from $a$ to $b$ plus $b$ to $c$ — integrals split over adjacent intervals.
If $\int_0^2 f\,dx=5$ and $\int_2^6 f\,dx=8$, find $\int_0^6 f\,dx$.
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Adjacent intervals add: $5+8=13$.
적분에 **'곱의 미분법'**은 없습니다: $\int fg\,dx \neq \left(\int f\,dx\right)\left(\int g\,dx\right)$. 선형성은 오직 합과 상수 배에서만 분할되며, 곱이나 나눗셈에서는 적용되지 않습니다. 또한 한계 순서를 바꾸면 부호가 뒤바뀐다는 점을 기억하세요 — 가장 쉽게 놓치는 포인트입니다.
$\displaystyle\int_0^4 f\,dx=10$과 $\displaystyle\int_0^4 g\,dx=3$가 주어졌을 때, $\displaystyle\int_0^4\big(2f-g\big)\,dx$를 구하십시오.
- 선형성: $\displaystyle\int_0^4 2f\,dx - \int_0^4 g\,dx = 2\int_0^4 f\,dx - \int_0^4 g\,dx$.
- $=2(10)-3=17$.
- $f$이나 $g$ 자체를 알 필요 없음 — 성질만으로 해결 가능.
정적분 성질: 선형성($\int kf = k\int f$; $\int (f\pm g)=\int f\pm\int g$), 너비 0($\int_a^a f=0$), 한계 순서 바꾸기 시 부호 반전($\int_b^a f=-\int_a^b f$), 구간 분할($\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c$). 적분에 곱의 미분법은 없습니다.