| English | 의미 |
|---|---|
| extrema/ekˈstremə/ | 극값 |
Reading $g$ from the graph of $f$
- If $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, then by FTC Part 1, $g'=f$ — so $f$ is the derivative of $g$.
- That means everything from Unit 5 applies: use $f$ (as $g'$) to analyze $g$.
- The sign of $f$ tells you where $g$ increases and decreases.
- The zeros of $f$ (where it changes sign) locate the extrema of $g$.
$g(x)=\int_a^x f\,dt$를 분석할 때, $f$의 그래프는 $g'$의 그래프 역할을 합니다.
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FTC 제1정리: $g'=f$.
Increase/decrease from the sign of $f$
- Where $f(x)>0$: $g$ is increasing (area is being added).
- Where $f(x)<0$: $g$ is decreasing (area is being subtracted).
- So look at the graph of $f$: above the axis → $g$ climbs; below → $g$ falls.
- $g$ is the running total of signed area, so its direction follows $f$'s sign.
f가 양수인 곳에서 g는 증가합니다.
y = f(t) (피적분함수 = g′)
$f$(음영 높이)가 양수인 동안, 적분된 면적 $g$는 증가하며, $f$가 음수가 되면 $g$는 감소합니다.
$g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$에 대해, $g$는 정확히 ...인 곳에서 증가합니다.
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$g'=f$, 따라서 $g$는 $f>0$인 곳에서 증가합니다.
Extrema of $g$ where $f$ changes sign
- $g$ has a local max where $f$ (its derivative) changes from positive to negative.
- $g$ has a local min where $f$ changes from negative to positive.
- These are just the First Derivative Test applied to $g$, using $f$ as $g'$.
- The extrema 极值 of the accumulation function sit at the $x$-axis crossings of $f$.
$g$는 $f$가 ...에서 변할 때 국소 최대점을 가집니다.
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$g'=f$이 $+\to-$로 → 함수 $g$의 국소 극대값.
$f$의 그래프에서 어떤 $g=\int_a^x f\,dt$의 특징을 읽을 수 있습니까?
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증감, 극점, 볼록성 — 모두 $f$에서 알 수 있습니다. 정확한 값은 실제 면적을 필요로 합니다.
Concavity of $g$ from the slope of $f$
- Since $g'=f$, we get $g''=f'$ — so the concavity of $g$ follows the slope of $f$.
- Where $f$ is increasing, $g$ is concave up; where $f$ is decreasing, $g$ is concave down.
- An inflection point of $g$ sits where $f$ has a local max or min (where $f'$ changes sign).
- One graph of $f$ tells you increase/decrease and concavity of $g$.
$g''=f'$이므로, $g$는 $f$가 ____인 곳에서 볼록(U形/오목)합니다.
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$g''=f'>0$에서 $f$가 증가합니다.
$f$가 $x$에서 큰 양수 값일 때, $g$은 ...입니다.
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$f=g'$는 속도입니다. 큰 $f$는 $g$가 빠르게 상승함을 의미할 뿐, $g$가 크다는 뜻은 아닙니다.
To analyze $g(x)=\int_a^x f\,dt$, treat the graph of $f$ as the graph of $g'$. Don't read $f$'s height as $g$'s height — read $f$'s sign for $g$'s increase/decrease, and $f$'s sign changes for $g$'s extrema. A big positive $f$ means $g$ is rising fast, not that $g$ is large.
$g(x)=\int_0^x f(t)\,dt$, where $f>0$ on $(0,3)$, $f(3)=0$, and $f<0$ on $(3,5)$.
- On $(0,3)$: $f>0$ → $g$ increasing. On $(3,5)$: $f<0$ → $g$ decreasing.
- At $x=3$: $f$ changes $+\to-$ → $g$ has a local maximum.
- So $g$ climbs to a peak at $x=3$, then falls.
For $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, use $g'=f$: $g$ increases where $f>0$, decreases where $f<0$, and has extrema where $f$ changes sign. Since $g''=f'$, $g$ is concave up where $f$ is increasing. Read the graph of $f$ as the graph of $g'$.