| English | 의미 |
|---|---|
| Fundamental Theorem of Calculus/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/ | 미적분의 기본 정리 |
| accumulation function/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn ˈfʌŋkʃn/ | 적분 함수 |
면적과 기울기 사이의 다리
- 미분(slopes)과 적분(areas)은 관련 없어 보이지만, 실제로는 역(inverses) 입니다.
- 미적분학의 기본 정리(Fundamental Theorem of Calculus, FTC) 가 놀라운 연결고리입니다.
- 그 첫 번째 부분은 적분으로 정의된 함수, 즉 축적 함수(accumulation function) 에 관한 것입니다.
- 이 함수의 도함수를 취하면 - 신기하게도 - 피적함수(integrand)를 다시 얻습니다.
축적 함수(accumulation function)
- 하한(lower limit) $a$을 고정하고 상한(upper limit)을 변하게 하십시오: $$g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$$
- $g(x)$ 는 $f$ 하에서 구간 $a$부터 $x$까지의 축적된(부호 있는) 면적입니다.
- $x$가 오른쪽으로 이동하면 $g$이 더 많은 면적을 수집합니다. 적분 변수 $t$은 단순히 placeholder일 뿐입니다.
- $g$은 $x$의 진정한 함수입니다 - 그래프를 그리거나 미분하거나 분석할 수 있습니다.
x까지 쌓이는 면적
y = t² + 1 (피적분함수)
상한이 오른쪽으로 이동함에 따라 $g(x)$이 더 많은 면적을 모으며, 그 순간 성장율은 정확히 $f(x)$입니다.
$g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ 형태의 함수를 ____ 함수라고 합니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
$x$까지 부호가 있는 면적을 쌓습니다.
$g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$에서 변수 $t$는 ...입니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
$t$는 위조 변수이며, $x$는 $g$의 실제 입력값입니다.
FTC Part 1: 도함수가 적분을 undone( Undo )합니다
- FTC의 첫 번째 부분은 다음과 같이 말합니다:
-
$$g'(x)=\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$$
- 언어로: 축적 함수의 도함수는 피적함수(integrand) 그 자체입니다.
- $x$에서의 면적 축적률 =那里的高度$f(x)$. 아주 간단합니다.
FTC 제1정리에 의해, $\dfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=$
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
적분함수의 도함수는 피적분함수 $f(x)$입니다.
$g(x)=\int_2^x (t^2+1)\,dt$에 대해 $g'(3)$을 구하시오.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
$g'(x)=x^2+1$, 따라서 $g'(3)=10$입니다.
연쇄 법칙(chain-rule) 변주와 함께
- 상한(upper limit)이 함수 $u(x)$라면 연쇄 법칙이 작동합니다:
- $\dfrac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt = f(u(x))\cdot u'(x)$.
- 상한을 $f$에 대입한 후, 그 상한의 도함수 곱합니다.
- (변수 *하한(lower limit)*은 부호를 뒤집습니다. 범위를 바꾸면 적분의 부호가 반대가 되기 때문입니다.)
$\dfrac{d}{dx}\int_a^{x^2} f(t)\,dt$에 대해, 답은 ...입니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
연쇄 법칙: 상한을 대입하고, 그에 대한 도함수 $2x$를 곱합니다.
상한이 $u(x)$일 때, 피적분함수를 $u$에서 평가하여 $u'(x)$를 곱합니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
이 연쇄 법칙의 인자가 필수입니다.
FTC Part 1은 $g'(x)=f(x)$가 단순한 상한일 때만 $x$을 직접 줍니다. 상한이 $u(x)$인 경우(예: $x^2$), 반드시 $u'(x)$을 곱해야 합니다: $\frac{d}{dx}\int_a^{x^2} f(t)\,dt = f(x^2)\cdot 2x$. 연쇄 법칙 인자를 잊어 버리는 것이 고전적인 실수입니다.
$g(x)=\displaystyle\int_2^x (t^2+1)\,dt$라 할 때, $g'(x)$과 $g'(3)$를 구하십시오.
- FTC Part 1에 의해: $g'(x)=x^2+1$ ($t\to x$을 대입한 피적함수일 뿐입니다).
- $g'(3)=3^2+1=10$.
- (적분 자체를 계산할 필요 없습니다 - 도함수가 그것을 그대로 읽어내어 줍니다.)
축적 함수(accumulation function) $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$는 $x$까지 signed area를 수집합니다. FTC Part 1: $g'(x)=f(x)$ — 축적 함수의 미분은 피적함수(integrand) 를 반환합니다. 상한이 $u(x)$이면, $u'(x)$을 곱하십시오 (연쇄 법칙).