| English | 의미 |
|---|---|
| Riemann sum/ˈriːmən sʌm/ | 리만 합 |
| left/left/ | 좌단점 |
| right/raɪt/ | 우단점 |
| midpoint/ˈmɪdpɔɪnt/ | 중점 |
| trapezoid/ˈtræpɪzɔɪd/ | 사다리꼴 |
| trapezoidal rule/ˈtræpɪzɔɪdl ruːl/ | 사다리꼴 법칙 |
곡선 면적을 사각형으로 근사하기
- 구간을 줄로 나누고 각 줄 위에 직사각형을 쌓아 면적을 더하십시오.
- 이 직사각형 면적들의 합은 리아마ann sum입니다.
- 더 많고 얇은 직사각형일수록 실제 면적에 대한 추정이 정확해집니다.
- 더 많고 더 얇은 사각형을 사용할수록 실제 면적에 대한 추측값이 정확해집니다.
우리가 근사하는 면적
y = x²
사각형이나 사다리꼴이 곡선下面的阴影区域을 채웁니다 — 더 많고 얇은 줄무늬일수록 추정이 정확해집니다.
더 많고 얇은 사각형을 사용하는 것은 일반적으로 리만 합 추정을 개선합니다.
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얇은 줄무늬가 곡선을 더 잘 따릅니다.
좌측, 우측 및 중점 사각형
- 좌측 합: 각 줄의 왼쪽 끝에서 높이를 측정.
- 우측 합: 오른쪽 끝에서 측정.
- 중점 합: 중간에서 측정 — 보통 세 가지 중 가장 정확함.
- 중점 합계: 각 구간 중앙에서의 높이를 사용하므로 세 가지 방법 중 가장 정확한 경우가 많습니다.
$f(x)=x^2$이 $[0,2]$ 구간에서, $2$ 오른쪽 사각형(너비 $1$): 높이 $f(1)=1$, $f(2)=4$일 때, 오른쪽 리만 합을 구하십시오.
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$1\cdot1+4\cdot1=5$.
동일한 setup이지만 왼쪽 리만 합: 높이 $f(0)=0$, $f(1)=1$. 구하십시오.
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$0\cdot1+1\cdot1=1$.
리만 합에서 사각형의 높이를 선정하는 표준 방법은 무엇입니까?
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좌변, 우변 및 중점 법칙이 표준 선택지입니다.
사다리꼴이 더욱 정확합니다
- 사다리꼴 법칙은 각 줄의 좌측과 우측 높이를 평균냅니다.
- 직사각형보다 매끄러운 곡선에 더 밀착하므로, 보통 더 정확함.
- 사각형보다 매끄러운 곡선에 더 밀착하므로 일반적으로 더 정확한 결과를 제공합니다.
- 각 사다리꼴의 면적 $=\tfrac12(\text{left height}+\text{right height})\times\text{width}$.
____ 규칙은 사각형보다 더 밀착되게 하기 위해 변 높이의 평균을 사용하는 비스듬한 상단을 사용합니다.
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각 사다리꼴은 왼쪽과 오른쪽 높이의 평균을 취합니다.
는 과소추정还是在 과대추정인가?
- 증가(steadily increasing) 하는 함수에서: 좌측 합계는 과소 추정, 우측 합계는 과대 추정합니다.
- 감소하는 함수에서는 반대로, 왼쪽이 위, 오른쪽이 아래입니다.
- 사다리꼴 법칙의 오차는 오목성(concavity)에 의존합니다: 위로 볼록하면 과대추정, 아래로 볼록하면 과소추정합니다.
- 오차의 방향을 알면 실제 면적을 bounds(경계)할 수 있습니다.
증가함수에 대해 왼쪽 리만 합은 ...을 제공합니다.
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증가하는 곡선에서 왼쪽 높이는 작은 변이므로 과소 추정합니다.
세 가지 직사각형 규칙은 스트립(strips) 개수가 적을 때 매우 다른 값을 줄 수 있습니다. 이들은 근사값이지 정확한 면적이 아닙니다. 왼쪽 합이나 오른쪽 합이 과대추정인지 과소추정인지는 규칙 자체보다 함수가 증가하는지 감소하는지에 따라 결정됩니다. 항상 함수의 거동을 확인하십시오.
$f(x)=x^2$에서 $[0,2]$ 사이의 곡선 아랫 면적을 $2$개의 오른쪽 직사각형으로 추정하십시오 (너비 $1$).
- 오른쪽 높이: $f(1)=1$과 $f(2)=4$입니다.
- 오른쪽 합 $=1\cdot1+4\cdot1=5$입니다.
- (실제 면적은 $\tfrac83\approx2.67$입니다. $x^2$이 증가하는 함수이므로, 예상대로 오른쪽 합은 과대추정합니다.)
리만 합(Riemann sum) 은 직사각형을 사용하여 면적을 근사합니다: 왼쪽, 오른쪽, 또는 중점(midpoint) 높이. 사다리꼴 법칙은 가장자리의 높이를 평균하여 더 밀착되는 approximation을 위해 기울어진 상단(slanted tops)을 사용합니다. 증가하는 함수의 경우 왼쪽 합은 과소추정하고 오른쪽 합은 과대추정하며, 스트립이 많아질수록 근사값이 정확해집니다.