| English | 의미 |
|---|---|
| implicit relations/ɪmˈplɪsɪt rɪˈleɪʃnz/ | 은밀 관계 |
| implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/ | 은밀 미분 |
함수가 아닌 곡선 분석
- 원, 타원 및 기타 명시적 relation은 수직선 검정을 통과하지 못하므로 $y=f(x)$가 아니다.
- 그러나 미적분 도구들은 암미미디에이션 differentiation를 통해 여전히 작동한다.
- 접선 기울기를 구하고, 수평 및 수직 접선을 찾아내며, 오목/볼록성까지 파악할 수 있다.
- 이 수업은 Unit 3의 암미미디에이션 방법을 Unit 5의 분석 문제에 적용한다.
수평 접선: 분자가 0
- 암시적 미분으로부터 $\tfrac{dy}{dx}$이라는 분수를 얻습니다.
- 수평 접선이 $\tfrac{dy}{dx}=0$ — 분자를 0으로 설정(분모는 $\neq0$) — 할 때 발생합니다.
- $x^2+y^2=25$에 대해: $\tfrac{dy}{dx}=-\tfrac{x}{y}=0$일 때 $x=0$, 즉 $(0,5)$와 $(0,-5)$(상단 및 하단)에서 해당합니다.
- 이들은 곡선의 최고점과 최저점입니다.
원 위의 접선
y = √(25 − x²) (상반부)
$x^2+y^2=25$에서 위와 아래에는 수평 접선이 있고, 좌우에는 수직 접선이 있습니다.
명시되지 않은 곡선에서의 수평 접선은 $\tfrac{dy}{dx}$이 ...인 곳에서 발생합니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
수평 ⇔ 기울기 $0$ ⇔ $\tfrac{dy}{dx}$의 분자가 0입니다.
$x^2+y^2=25$($\tfrac{dy}{dx}=-\tfrac{x}{y}$)에 대해 수평 접선이 있는 모든 점을 선택하십시오.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
$\tfrac{dy}{dx}=0$일 때 $x=0$: 위와 아래 점들.
수직 접선: 분모가 0인 경우
- 수직 접선이 $\tfrac{dy}{dx}$의 값이 정의되지 않는 곳 — 분모를 0으로 설정(분자는 $\neq0$) — 할 때 발생합니다.
- $x^2+y^2=25$에 대해: $-\tfrac{x}{y}$은 $y=0$일 때 정의되지 않으며, 즉 $(5,0)$과 $(-5,0)$(좌우)에서undefine입니다.
- 그 지점에서 접선이 수직이며, 곡선이 세로 방향으로 곧게 꺾입니다.
- 분자가 0 → 수평; 분모가 0 → 수직.
수직 접선은 $\tfrac{dy}{dx}$의 ____이 0인 곳에서 발생합니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
분모 0 ⇒ 기울기 불명확 ⇒ 수직 접선.
$\tfrac{dy}{dx}$의 분모를 0으로 놓으면 수직인 접선을 찾을 수 있습니다...
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
분모 0 ⇒ 수직 접선 (분자 0 ⇒ 수평 접선).
오목함: 암시적 이계미분
- 오목함을 구하려면 $\tfrac{dy}{dx}$을 다시 암시적으로 미분하여 $\tfrac{d^2y}{dx^2}$을 구해야 합니다.
- 모든 $y$이 여전히 $x$에 의존하므로 연쇄 법칙이 다시 등장하며, 알려진 $\tfrac{dy}{dx}$을 대입합니다.
- $\tfrac{d^2y}{dx^2}$의 부호는 점에서의 볼록/오목함을 나타내며, 이전과 동일합니다.
- 더 많은 대수运算이지만 같은 원리입니다: $f''>0$이 증가하고, $f''<0$이 감소합니다.
후보 점은 원방정식을 만족(곡선 위에 위치)해야 유효합니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
단순히 기울기 조건뿐만 아니라 실제 곡선 위에 있는지 확인하십시오.
명시되지 않은 곡선에서 오목성을 찾기 위해 ...합니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
명시되지 않은 이계 미분식 $\tfrac{d^2y}{dx^2}$의 부호에 의해 오목성이 결정됩니다.
수평 접선은 $\tfrac{dy}{dx}$의 분자를 0으로 설정하고, 수직 접선은 분모를 0으로 설정합니다. 서로 바꾸지 마십시오. 또한 한 점이 실제로 곡선 위에 있는지 확인해야 합니다: 미분 조건뿐만 아니라 원래 식을 만족하는지 체크하십시오.
$x^2+y^2=25$의 수평 및 수직 접점을 찾으십시오.
- $2x+2y\tfrac{dy}{dx}=0\Rightarrow\tfrac{dy}{dx}=-\tfrac{x}{y}$.
- 수평 ($\tfrac{dy}{dx}=0$): $x=0\Rightarrow(0,5),(0,-5)$.
- 수직 ($\tfrac{dy}{dx}$ 정의 불가): $y=0\Rightarrow(5,0),(-5,0)$.
암시적 미분을 사용하여 암시적 관계를 분석하십시오: $\tfrac{dy}{dx}=0$(분자 0)은 수평 접선을, $\tfrac{dy}{dx}$이 정의되지 않음(분모 0)은 수직 접선을 제공합니다. $\tfrac{d^2y}{dx^2}$을 얻기 위해 다시 암시적으로 미분하고, 그 부호를 통해 오목함을 판독하십시오. 항상 점이 곡선 위에 있는지 확인하십시오.