설정부터 최종 숫자까지
- 문제를 단일 변수로 줄였다. 이제 최적화를 풀다(solve).
- 계획: 목적식을 미분하여 임계점을 찾고, 그것이 최대인지 최소인지 확인하라.
- 그런 후 실제 질문에 답하라 — 대개 *치수(dimension)*나 *최적 값(optimal value)*이며 단위가 포함된다.
- 이 단원의 극값 연산 장치가 이야기/story에 적용된 것이다.
풀이 단계
- 1. 단일 변수 목적식을 미분하고 0으로 두고 임계점을 구하라.
- 2. 일계도 또는 이계도 검사를 통해 최대와 최소를 확인하십시오.
- 3. 도메인이 닫혀 있거나 유계라면 **경계점(endpoints)**도 확인하라.
- 4. 질문한 내용에 답하라 — 최적 변수를 다시 대입하라.
The area has a single peak
y = ax² + bx
The area parabola opens downward with a single peak — the derivative is zero at the vertex, a maximum.
For $A(x)=40x-2x^2$, solve $A'(x)=40-4x=0$ for the critical $x$.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
$40-4x=0\Rightarrow x=10$.
Order the optimization solving steps.
난이도 3/5 · 200 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
Differentiate, find, confirm, answer.
가정하지 말고 검증하라
- 임계점은 오직 *후보(candidate)*일 뿐이다. 원하는 최대(또는 최소)임을 보여야 한다.
- 이계도 검사: 임계점에서 $A''(x)<0$이라면, 그것은 최대입니다.
- 혹은 주변에서의 $A'$ 부호를 확인하거나, 도메인 경계점과 비교할 수도 있다.
- 검증 생략은 흔한 점수 상실 원인입니다; AP는 근거 justification를 요구합니다.
Since $A''(x)=-4<0$, the critical point is a...
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
Concave down ⇒ maximum.
You should justify that a critical point is truly the maximum, not just assume it.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
A derivative test or endpoint check is expected.
실제 질문에 답하기
- 최대 면적을 물었다면 면적 값을 보고, 치수를 물었다면 길이를 보고하라.
- 단위를 포함하고 답이 물리적으로 타당한지 확인하라.
- 문제 지문을 다시 읽어라. "어떤 치수인가?"와 "가장 큰 면적은 얼마인가?"는 다른 최종 숫자를 요구한다.
- 적절한 라벨이 없는 숫자는 점수를 잃는다.
With $x=10$ and $A(x)=40x-2x^2$, find the maximum area.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
$A(10)=400-200=200$.
If the question asks for the dimensions, you should report...
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
Report what is asked — dimensions, not the area, here.
두 가지 흔한 실수: (1) 질문이 최적화된 양을 원하는데 **$x$-값(critical value)**을 보고하는 것(또는 그 반대로) — 무엇을 묻는지 다시 읽어라. (2) 임계점이 진짜로 최대/최소임을 보여주는 근거 justification를 생략하는 것. 항상 도함수 검정이나 경계점 검정으로 검증하라.
울타리 setup에서 면적 $A(x)=40x-2x^2$를 극대화하되, $0<x<20$.
- $A'(x)=40-4x=0\Rightarrow x=10$.
- $A''(x)=-4<0$ → 아래로 볼록(o concave down) → maximum ✓.
- 그럼 $y=40-2(10)=20$, 그리고 $A=10\cdot20=200\ \text{m}^2$. 치수 $10\times20$, 최대 면적 $200\ \text{m}^2$.
최적화를 풀다(solve): 단일 변수 목적식을 미분하고 임계점을 위해 0으로 두고, 도함수 검정으로 최대/최소를 검증하며(도메인 경계점도 확인), 단위를 포함하여 정확한 질문에 답하라. 잘못된 양을 보고하지 말고, 항상 근거를 제시하라.