Draw the whole shape from its derivatives
- The derivatives are a recipe for a graph: $f'$ gives the slopes, $f''$ gives the bends.
- Combine the two sign charts and you can sketch a curve you were never handed.
- Extrema come from $f'$; concavity and inflection come from $f''$.
- This is where all of Unit 5 comes together into one picture.
The information you assemble
- From $f'$: intervals of increase/decrease and the extrema (where $f'$ changes sign).
- From $f''$: intervals of concavity and the points of inflection (where $f''$ changes sign).
- Plus a few plotted points and any intercepts to anchor the height.
- Layer these together and the shape is forced.
함수 $f$의 국소 극값은 $f'$의 ____에서 부호가 바뀔 때 발생합니다.
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함수 $f'$의 부호 변경 영수는 함수 $f$의 극값을 나타냅니다.
어떤 특징들이 $f''$(이계도)에서 유래합니까?
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오목성 및 변곡점은 $f''$에서, 증감 및 극값은 $f'$에서 유래합니다.
Sketching $f'$ from $f$, and back
- Given the graph of $f$: where $f$ has a horizontal tangent, $f'=0$ (a zero of $f'$).
- Where $f$ rises, $f'$ is positive; where $f$ falls, $f'$ is negative.
- Where $f$ is steepest, $f'$ is at an extreme; at an inflection of $f$, $f'$ has a max or min.
- Reverse the reading to sketch $f$ from a given $f'$.
함수 $f$의 그래프에 수직 접선이 있는 곳, 함수 $f'$의 그래프...
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수직 접선 ⇒ 기울기 $0$ ⇒ $f'=0$.
함수 $f$가 증가할 때, 그 도함수 $f'$은 양수입니다.
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증가 ⇔ $f'>0$.
Put the marks on the sketch
- Mark each extremum (peak/valley), each inflection point (bend flip), and label the intervals.
- Match increasing+concave-up (curving up steeply) vs. increasing+concave-down (leveling off), and so on — four combinations.
- Check consistency: a local max should sit where increase turns to decrease and the curve is concave down.
- A clean sketch shows all four features agreeing.
완성된 형태
y = ax³ + cx
$(-1,2)$에서 봉우리, $(0,0)$에서 변곡점, $(1,-2)$에서 골짜기 — 이는 정확히 $f'$과 $f''$ 차트가 예측하는 바입니다.
함수 $f$가 크지만 평탄한 지점에서, 함수 $f'$의 값은 ...입니다.
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높이가 아닌 기울기를 읽으십시오: 평탄함 ⇒ $f'=0$.
국소 극대값은 $f$가 증가에서 감소로 전환되는 곳과 곡선이 오목...인 곳에서 발생해야 합니다.
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봉우리는 아래로 오목합니다(모자 모양).
Don't read $f'$ off the height of $f$ — read it off the slope. Where $f$ is high but flat, $f'=0$, not "large." And a zero of $f'$ marks a possible extremum of $f$; a zero of $f''$ marks a possible inflection of $f$ — keep the two levels straight.
Sketch clues for $f(x)=x^3-3x$.
- $f'=3(x-1)(x+1)$: increasing on $(-\infty,-1)$ and $(1,\infty)$, decreasing on $(-1,1)$; max at $(-1,2)$, min at $(1,-2)$.
- $f''=6x$: concave down for $x<0$, concave up for $x>0$; inflection at $(0,0)$.
- The sketch: rises to a peak at $(-1,2)$, falls through $(0,0)$, dips to $(1,-2)$, then rises.
To sketch a graph, combine what $f'$ says (increase/decrease and extrema) with what $f''$ says (concavity and inflection points), plus a few anchor points. Read $f'$ from the slope of $f$ (not its height); a zero of $f'$ is a possible extremum, a zero of $f''$ a possible inflection.