| English | 의미 |
|---|---|
| concavity/kənˈkævɪti/ | 오목성 |
| sign of the second derivative/saɪn ɒvðə ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/ | 2계 도함수의 부호 |
| concave up/kɒnˈkeɪv ʌp/ | 오목 위쪽 |
| concave down/kɒnˈkeɪv daʊn/ | 오목 아래쪽 |
| point of inflection/pɔɪnt ɒv ɪnˈflekʃn/ | 변곡점 |
How the curve bends
- Increasing/decreasing tells you which way the curve goes; concavity 凹凸性 tells you how it bends.
- A curve can rise while bending like a cup (opening up) or like a cap (opening down).
- The bending is controlled by the sign of the second derivative 二阶导数的符号.
- $f''$ measures how the slope $f'$ itself is changing.
Concave up: $f'' > 0$
- Where $f''(x)>0$, the graph is concave up 凹 — shaped like a smile, holding water.
- The slope $f'$ is increasing (getting more positive or less negative).
- Cup-shaped valleys are concave up.
- Tangent lines lie below a concave-up curve.
그래프가 볼록인 곳은 정확히 ...입니다.
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볼록 ⇔ $f''>0$ (기울기 증가).
볼록이란 기울기 $f'$가 ...임을 의미합니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
볼록 ⇔ $f'$ 증가 ⇔ $f''>0$.
Concave down: $f'' < 0$
- Where $f''(x)<0$, the graph is concave down 凸 — shaped like a frown.
- The slope $f'$ is decreasing.
- Cap-shaped hills are concave down.
- Tangent lines lie above a concave-down curve.
$f''(x)<0$인 곳, 그래프는 ____로 오목합니다(모자 모양).
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부정 이계도 → 아래로 오목.
Inflection points: where the bend flips
- A point of inflection 拐点 is where concavity changes — from up to down or down to up.
- There, $f''$ changes sign (usually passing through $0$, sometimes undefined).
- Build a sign chart of $f''$, just like you did for $f'$, to find these.
- An inflection point is about the bend changing, not the slope.
오목 후 볼록
y = x³
이 입방함수는 $x<0$에서는 모자 모양으로, $x>0$에서는 잔 모양으로 굽습니다 — $0$에서의 전환은 변곡점입니다.
변곡점이 되려면 $f''$이 단순히 0이 되는 것이 아니라 부호가 바뀌어야 합니다.
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$y=x^4$는 $f''(0)=0$을 가지지만 부호 변화가 없으므로 변곡점이 아닙니다.
함수 $f(x)=x^3$에 대해 $f''(x)=6x$일 때, 변곡점은 어느 $x$에 있습니까?
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$f''=6x$는 $x=0$에서 부호가 바뀝니다.
함수 $y=x^4$에 대해 지점 $x=0$은 변곡점입니까?
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
양측에서 모두 $f''=12x^2\ge0$ — 부호 변화가 없으므로 변곡점이 아닙니다.
$f''(c)=0$ alone does not make $c$ an inflection point — $f''$ must actually change sign there. For $y=x^4$, $f''(0)=0$, but $f''\ge0$ on both sides (no sign change), so $x=0$ is not an inflection point. Check the sign on both sides, don't just solve $f''=0$.
Find the concavity and inflection point of $f(x)=x^3$.
- $f'(x)=3x^2$, $f''(x)=6x$.
- $f''<0$ for $x<0$ (concave down); $f''>0$ for $x>0$ (concave up).
- $f''$ changes sign at $x=0$ → inflection point at $(0,0)$.
Concavity is set by the sign of $f''$: $f''>0$ → concave up (cup), $f''<0$ → concave down (cap). A point of inflection is where $f''$ changes sign — the bend flips. $f''=0$ is a candidate, but you must confirm a sign change.