| English | 의미 |
|---|---|
| Candidates Test/ˈkændɪdeɪts test/ | 후보점 판정법 |
Finding the true highest and lowest
- On a closed interval, the EVT promises an absolute max and min exist. Where are they?
- They can only be at a critical point or at an endpoint — a short list of suspects.
- The Candidates Test 候选点判别法 just evaluates $f$ at every suspect and compares.
- No sign charts needed — the biggest output wins, the smallest loses.
The three steps
- 1. Find all critical points in $[a,b]$ (where $f'=0$ or is undefined).
- 2. Evaluate $f$ at each critical point and at both endpoints $a$ and $b$.
- 3. Compare the values: the largest is the absolute maximum, the smallest the absolute minimum.
- Report both the value and its location.
끝점과 임계점
y = ax³ + cx
닫힌 구간에서의 절대 최대/최소값은 끝점과 내부 임계점 사이에 숨어 있다 — 평가하여 비교하라.
$[a,b]$에서의 절대 극대값을 구하려면, 어떤 점에서 $f$을 평가해야 하는가?
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임계점에 양쪽 경계점을 더한 것이 전체 후보 목록입니다.
Don't forget the endpoints
- On a closed interval, the extremes often sit at the endpoints, not a critical point.
- A monotonic function (always increasing) has its max at the right end and min at the left.
- So you must always include $f(a)$ and $f(b)$ in your candidate list.
- Missing an endpoint is the most common way to get the wrong absolute extremum.
$f(x)=x^3-3x$이 $[0,2]$ 구간에서, $f(0)=0$, $f(1)=-2$, $f(2)=2$일 때 절대 최대값은 무엇인가?
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가장 큰 후보 값은 $2$이며(경계점 $x=2$에서 발생)
동일한 함수와 후보값: 절댓값 극소값은 무엇입니까?
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가장 작은 후보 값은 $-2$이며(지점 $x=1$에서 발생)
경계점을 생략하더라도 절댓값 극값을 확실히 알 수 있습니다.
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극값이 주로 경계점에 위치하므로, 이를 생략하면 오답을 얻을 수 있습니다.
Compare, don't classify
- Unlike the First Derivative Test, the Candidates Test doesn't care what kind each point is.
- It simply asks: of all the candidate outputs, which is biggest and which smallest?
- One evaluation per candidate, then a comparison — clean and reliable on a closed interval.
- (It needs a closed interval; on an open interval an absolute extremum may not exist.)
candidate test에는 EVT가 극값 존재를 보장하는 ____ 구간이 필요합니다.
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열린 구간에서는 절댓값 극값이 존재하지 않을 수 있습니다.
절댓값 극대값은 가장 큰 ...를 가진 후보입니다...
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입력이 아닌 출력 $f(x)$을 비교하십시오.
The Candidates Test requires a closed interval $[a,b]$ and must include the endpoints. Evaluating only the critical points misses extremes that live at $a$ or $b$. And compare $f$-values, not $x$-values — the winner is the largest output, wherever it occurs.
Find the absolute extrema of $f(x)=x^3-3x$ on $[0,2]$.
- Critical points in $[0,2]$: $f'=3(x-1)(x+1)=0$ at $x=1$ (only $x=1$ is in range).
- Evaluate candidates: $f(0)=0$, $f(1)=-2$, $f(2)=2$.
- Absolute max $=2$ at $x=2$ (endpoint); absolute min $=-2$ at $x=1$.
The Candidates Test finds absolute extrema on a closed interval: list the critical points and both endpoints, evaluate $f$ at each, and compare. Largest value = absolute maximum, smallest = absolute minimum. Always include the endpoints, and compare outputs, not inputs.