| English | 의미 |
|---|---|
| First Derivative Test/fɜːst dɪˈrɪvətɪv test/ | 1계 도함수 판정법 |
| relative (local) maximum/ˈrelətɪv ˈmæksɪməm/ | 국소 극대값 |
| relative (local) minimum/ˈrelətɪv ˈmɪnɪməm/ | 국소 극소값 |
Classify a critical point by how $f'$ turns
- A critical point is a candidate extremum — now we decide which kind it is.
- The First Derivative Test 一阶导数判别法 reads the sign change of $f'$ across the point.
- Uphill-then-downhill makes a peak; downhill-then-uphill makes a valley.
- It reuses your sign chart from the last lesson — no new computation.
Positive → negative means a max
- If $f'$ changes from positive to negative at a critical point $c$, then $f$ has a relative (local) maximum 局部最大值 there.
- The function was climbing, levels off, then falls — the top of a hill.
- Read it straight off the sign chart: a $+$ to the left of $c$, a $-$ to the right.
- The maximum value is $f(c)$; the location is $x=c$.
최댓값 다음에 최솟값
y = ax³ + cx
왼쪽 봉우리는 국소 최댓값($f'$이 $+$에서 $-$로 변함)이고, 오른쪽 골은 국소 최솟값($-$에서 $+$로 변함)이다.
$f'$이 $c$에서 양수에서 음수로 변하면, $f$은 ...을 가진다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
올라갔다가 내려옴 = 산 꼭대기 = 국소 최댓값.
Negative → positive means a min
- If $f'$ changes from negative to positive at $c$, then $f$ has a relative (local) minimum 局部最小值 there.
- Falling, levels off, then climbing — the bottom of a valley.
- Sign chart: a $-$ left of $c$, a $+$ right of $c$.
- If $f'$ does not change sign at $c$, there is no extremum there (a flat spot).
$f'$이 $c$에서 음수에서 양수로 변하면, $f$은 그곳에서 국소 ____을 가진다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
내려갔다가 올라옴 = 골짜기 바닥 = 국소 최솟값.
The routine
- Find critical points, build the sign chart of $f'$, and read each crossing.
- $+\to-$: local max. $-\to+$: local min. No change: neither.
- Works even where $f'$ is undefined (a corner), as long as the sign flips.
- This is the AP's most-used tool for classifying extrema.
$f'$이 임계점 양쪽에 동일한 부호를 가지면, 그곳에 극대가 없다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
부호 변경 없음($y=x^3$ at $0$과 같은 경우)은 최댓값이나 최솟값이 없음을 의미한다.
$f(x)=x^3-3x$에 대해, 임계점 $x=1$은 ...이다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
$f'$이 $-\to+$에서 $x=1$으로 → 국소 최소값.
$f(x)=x^3-3x$의 국소 최대점은 $x=-1$에 있습니다. 최대 값 $f(-1)$을 구하십시오.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
$f(-1)=(-1)^3-3(-1)=-1+3=2$.
일계도 검사에 대한 모든 참인 진술을 선택하십시오.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
$c$의 값이 아니라 부호 변경이 중요하다.
It's the change in sign that matters, not the value of $f'$ at $c$ (which is $0$ or undefined there). If $f'$ keeps the same sign on both sides — like $y=x^3$ at $0$ (positive on both sides) — there is no extremum, even though it's a critical point.
Classify the critical points of $f(x)=x^3-3x$ ($f'=3(x-1)(x+1)$).
- At $x=-1$: $f'$ goes $+\to-$ (test $-2$ gives $+$, test $0$ gives $-$) → local max.
- At $x=1$: $f'$ goes $-\to+$ (test $0$ gives $-$, test $2$ gives $+$) → local min.
- Values: local max $f(-1)=2$, local min $f(1)=-2$.
The First Derivative Test classifies a critical point by the sign change of $f'$: $+\to-$ is a local maximum, $-\to+$ is a local minimum, and no sign change means no extremum. Just read the crossings off your $f'$ sign chart.