| English | 의미 |
|---|---|
| local (relative) extremum/ˈləʊkl ekˈstreməm/ | 국소 극값 |
| global (absolute) extremum/ˈɡləʊbl ekˈstreməm/ | 전역 극값 |
| critical points/ˈkrɪtɪkl pɔɪnts/ | 임계점 |
| Extreme Value Theorem/ekˈstriːm ˈvæljuː ˈθɪərəm/ | 극대·극소 정리 |
극값: 피크, 골짜기 및 그 위치 찾기
- 매끄러운 그래프에는 높은 점과 낮은 점이 있습니다 — 도함수는 이를 찾는 도구입니다.
- 먼저 용어를 설명하겠습니다: 국소 극값(local extremum) 은 주변 점들 중 가장 높거나 낮은 점을 말합니다.
- 전역 극값(global extremum) 은 전체 구간에서 가장 높거나 가장 낮은 단일 값을 의미합니다.
- 둘 다의 후보가 되는 특수 입력값들을 임계점(critical points) 이라고 부릅니다.
A "local (relative) maximum" is a point that is highest compared to...
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Local = compared to nearby points; global = over the whole interval.
극한값정리(Extreme Value Theorem)
- 극값 정리(EVT) 는 특정 조건 하에서 극값이 존재함을 보장합니다.
- $f$가 닫힌 구간 $[a,b]$에서 연속이라면, $f$은 $[a,b]$ 위에서 절댓값 최대(abs max)와 절댓값 최소(abs min)를 모두 가집니다.
- 연속성과 닫힌 구간은 참여 자격입니다. 하나라도 빠지면 최대값이나 최소값이 존재하지 않을 수 있습니다.
- EVT는 극값이 존재함을 알려주고, 도함수는 이를 찾는 데 도움을 줍니다.
The EVT guarantees a max and min when $f$ is continuous on a ____ interval.
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Continuity plus a closed interval is required.
임계점(critical points): 극값이 숨어 있을 수 있는 곳
- 임계점은 함수 f(x) 내부의 $x$ 중, $f'(x)=0$이 존재하지 않거나 $f'(x)$이 정의되지 않는 지점입니다.
- $f'=0$: 수평 접선(매끄러운 꼭지점 또는 골짜기). $f'$ 정의 불가: 구부러진 점 또는 끝점(cusp).
- 국소 극값은 오직 임계점에서만 발생할 수 있으며, 구간 내 다른 곳에서는 발생하지 않습니다.
- 따라서 극값을 찾기 위해서는 먼저 $f'(x)=0$을 풀고, $f'$이 정의되지 않는 지점을 확인하십시오.
Where the slope is zero
y = ax³ + cx
At a local peak or valley the tangent is horizontal ($f'=0$) — those inputs are the critical points.
A critical point is an interior $x$ where...
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Critical points: $f'=0$ or $f'$ undefined.
국소 극값 vs 전역 극값: 혼동하지 마십시오
- **국소 극대(local max)**는 바로 인접한 점들보다 높습니다; **전역 극대(global max)**는 $[a,b]$ 전체 구간 중 가장 높은 값입니다.
- 닫힌 구간에서의 전역 극값은either 임계점 또는 경계점(endpoint) 에 위치합니다.
- 모든 임계점이 극값인 것은 아닙니다(수평 접선은 상승하는 곡선 위의 평탄한 부분일 수 있습니다).
- 지역적(local)과 전역적(global)은 서로 다른 질문입니다. 한 점이 한쪽일 수 있지만 반드시 다른 쪽이기도 하지는 않습니다.
Find all critical points of $f(x)=x^3-3x$.
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$f'(x)=3(x-1)(x+1)=0$ at $x=\pm1$.
Every point where $f'(x)=0$ is a local maximum or minimum.
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$y=x^3$ at $0$ has $f'=0$ but no extremum — a critical point is only a candidate.
On a closed interval, an absolute extremum must occur at a critical point or an...
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Check critical points and the two endpoints.
$f'(c)=0$이 $c$에서 극값을 보장하지는 않습니다. 곡선 $y=x^3$에는 $f'(0)=0$가 있지만, $x=0$는 극대값이나 극소값이 아닙니다 — 단순히 평평한 변곡점일 뿐입니다. 임계점은 오직 후보일 뿐이며, 이를 검증해야 합니다(수업 5.4, 5.7). 또한 EVT는 연속성과 닫힌 구간이라는 두 조건이 모두 필요합니다.
$f(x)=x^3-3x$의 임계점을 구하십시오.
- $f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$.
- $f'(x)=0$: $x=1$과 $x=-1$ — 둘 다 수평 접선을 가집니다.
- $f'$은 everywhere 정의됩니다(다항함수이므로), 따라서 이 두 점이 유일한 임계점입니다.
극한 정리: 닫힌 구간 위에서 연속인 함수는 절댓값 최대와 최소를 가집니다. 이러한 값들 및 모든 국소 극값은 오직 임계점($f'=0$ 또는 정의되지 않음)이나 구간의 끝점에서만 발생합니다. 임계점은 후보일 뿐 보장이 아니므로 항상 검증해야 합니다.