| English | 의미 |
|---|---|
| L'Hospital's Rule/ˈelhɒspɪtlz ruːl/ | 로피탈의 법칙 |
| indeterminate forms/ˌɪndɪˈtɜːmɪnət fɔːmz/ | 부정형 |
고집스러운 극한을 위한 도함수 트릭
- Unit 1에서 $\tfrac00$은 "대수로 단순화"를 의미했습니다. 가끔 대수적 help가 없습니다.
- L'Hospital의 법칙은 도함수를 사용하여 이러한 고집스러운 극한을 해결합니다.
- 이는 불정형 $\tfrac00$과 $\tfrac{\infty}{\infty}$에 적용됩니다.
- 아이디어: 함수의 비율을 그 도함수의 비율로 교체합니다.
먼저 형태를 확인하라
- L'Hospital의 법칙은 genuine 불정형: $\dfrac00$ 또는 $\dfrac{\infty}{\infty}$에만 적용됩니다.
- 먼저 대입하여 확인하십시오. 만약 직접 대입으로 이미 숫자가 나온다면 끝난 것이며, 해당 법칙은 적용되지 않습니다.
- 비결정형 극한(예: $\tfrac{5}{2}$)에 이를 적용하면 틀린 결과를 얻습니다.
- 따라서 규칙을 사용하기 전에 항상 극한의 형태를 먼저 확인하십시오.
L'Hospital's Rule applies to which indeterminate forms?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
Only $\tfrac00$ and $\tfrac\infty\infty$. $\tfrac52$ is already determinate; $\tfrac30$ is an asymptote, not indeterminate.
Before applying the rule, confirm the limit is an ____ form by substituting.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
Only $\tfrac00$ or $\tfrac\infty\infty$ qualify.
상수항과 변수항을 각각 미분합니다
- 규칙: $$\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$(극한의 형태가 결정형일 때).
- 주의: 이는 나셈 법칙이 아닙니다. $f$과 $g$을 독립적으로 미분하며, 마이너스 기호나 $g^2$을 사용하지 않습니다.
- 이후 더 단순화된 새로운 극한을 다시 평가합니다.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{1}=1$ — 일행으로 표현되는 유명한 극한입니다.
A 0/0 ratio with a real limit
y = sin(x)/x (near 0)
$\tfrac{\sin x}{x}$ looks like $\tfrac00$ at $0$ but the curve heads smoothly to $1$ — L'Hospital finds that value fast.
L'Hospital's Rule uses the quotient rule $\dfrac{f'g-fg'}{g^2}$ on the numerator and denominator.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
It differentiates $f$ and $g$ separately: $\tfrac{f'}{g'}$, not the quotient rule.
Evaluate $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^x-1}{x}$ using the rule.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
$\tfrac00\Rightarrow\lim\tfrac{e^x}{1}=e^0=1$.
By L'Hospital, $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=\lim_{x\to0}\dfrac{\cos x}{1}=$
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
$\cos 0=1$.
여전히 결정형이 아니면 반복합니다
- 새 비율 $\tfrac{f'}{g'}$이 다시 $\tfrac00$ 또는 $\tfrac\infty\infty$인 경우, 규칙을 다시 적용하십시오.
- 결정형 값이 나올 때까지 상수항과 변수항을 계속 각각 미분하십시오.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{\cos x}{2}=\tfrac12$ (두 번의 적용).
- 각 단계마다 아직도 결정형이어야만 다음 적용을 정당화할 수 있습니다.
Applying the rule twice, $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=$ ? (a decimal)
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
$\to\tfrac{\sin x}{2x}\to\tfrac{\cos x}{2}=\tfrac12$.
$\dfrac{f'}{g'}$은 나눗셈 법칙이 아닙니다. L'Hospital 법칙은 분자와 분모를 별개로 미분합니다: $\frac{d}{dx}[f]$을 $\frac{d}{dx}[g]$으로 나눈 것이지, $\frac{f'g-fg'}{g^2}$을 사용하지 않습니다. 또한 $\tfrac00$ 또는 $\tfrac{\infty}{\infty}$일 때에만 사용하십시오. 극한이 이미 결정형일 때 이 규칙을 사용하면 무의미한 결과가 나옵니다.
$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}$을 계산하십시오.
- 대입: $\frac{e^0-1}{0}=\frac{0}{0}$ — 결정형이므로 L'Hospital 법칙이 적용됩니다.
- 상수항과 변수항을 각각 미분: $\dfrac{e^x}{1}$.
- $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x}{1}=e^0=1$.
L'Hospital의 법칙: 부정형 $\tfrac00$ 또는 $\tfrac{\infty}{\infty}$, $\lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'}$의 경우, 분모와 분자를 별개로 미분(나눔 법칙 아님)하고 다시 평가합니다. 먼저 형태를 확인하고, 결과가 여전히 부정형인 한 법칙을 반복하십시오.