| English | 의미 |
|---|---|
| related rates/rɪˈleɪtɪd reɪts/ | 연관 변화율 |
| time/taɪm/ | 시간 |
하나의 속도가 다른 속도를 결정할 때
- 풍선을 불면 반지름이 커지고, 그로 인해 부피도 커집니다.
- 두 속도는 연결되어 있습니다 — 반지름이 얼마나 빨리 변하는지 알면 부피가 얼마나 빨리 변하는지도 알 수 있습니다.
- 이런 문제는 **연관 변수의 변화율(related rates)**입니다: 여러 양이 시간에 따라 함께 변하는 경우입니다.
- 이들을 연결하는 핵심은 시간에 대한 체인 법칙(chain rule) 적용입니다.
연쇄 변수 관계 문제는 ...에 대해 변화하는 양의 변화율을 연결하는 문제입니다.
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변수는 시간의 함수이며, 연쇄 법칙을 통해 연결됨.
변수 간의 관계 식으로 시작하세요
- 먼저 양들을 묶어주는 방정식을 찾으세요 — 보통 기하학적 공식이나 공식입니다.
- 풍선: $V=\tfrac43\pi r^3$이 부피와 반지름을 연결합니다.
- 벽에 기대어 미끄러지는 사다리: $x^2+y^2=L^2$ (피타고라스 정리)이 두 거리 사이를 연결합니다.
- 이 관계 방정식은 모든 순간에 성립하므로 시간에 대해 미분할 수 있습니다.
반지름이 커질수록 부피 증가
y = a·x³ (V vs r)
$V=\tfrac43\pi r^3$가 가파르게 상승함 — 작은 반지름 변화율이 $r$이 클 때 큰 부피 변화율을 만듦.
첫 단계는 변화하는 변수들을 연결하는 ____을 쓰는 것입니다.
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보통 기하학적 또는 물리적 관계임.
길이 $L$의 사다리가 벽에 기대 있습니다. 바닥 거리 $x$와 높이 $y$를 연결하는 식은 무엇인가?
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피타고라스 정리에 따라 벽과 바닥은 직각을 이루므로 $x^2+y^2=L^2$입니다.
시간에 대해 미분하세요
- 모든 변수는 비록 숨겨져 있지만 $t$에 의존하므로, 미분하면 체인 법칙을 통해 각 변수마다 속도가 추가됩니다.
- $\dfrac{d}{dt}\big[V=\tfrac43\pi r^3\big]$를 미분하면 $\dfrac{dV}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$이 나옵니다.
- 각 항마다 "$\tfrac{d(\text{that variable})}{dt}$" 인자가 추가됩니다 — 이차 미분과 정확히同じ이지만, 숨겨진 변수는 $t$입니다.
- 이제 방정식이 속도 $\tfrac{dV}{dt}$과 $\tfrac{dr}{dt}$을 연결합니다.
$V=\tfrac43\pi r^3$을 $t$에 대해 미분하면 $\dfrac{dV}{dt}=$이 나옴
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시간에 대한 연쇄 법칙: $4\pi r^2$ × $\tfrac{dr}{dt}$.
주어진 값과 구하고자 하는 값을 구분하세요
- 문제를 읽고 표기하세요: 어떤 속도가 주어졌고, 어떤 단일 속도가 구하고 싶은值인가?
- "반지름이 분당 $2\,\tfrac{\text{cm}}{\text{s}}$으로 증가한다" → $\tfrac{dr}{dt}=2$이 주어졌습니다.
- "부피는 얼마나 빠르게 증가하고 있는가?" → $\tfrac{dV}{dt}$이 구하고자 하는 값입니다.
- 또한 특정 순간(예: 묻는 시점의 반지름)에 대한 고정된 양도 체크하세요.
$r^3$을 시간에 대해 미분하면 단순히 $3r^2$만 나옴.
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$3r^2\tfrac{dr}{dt}$이 나옴 — 변화율 인자가 필요함.
"반지름이 초당 $2$ cm로 늘어납니다. 부피는 초당 얼마나 늘어나는가?" 올바른 레이블을 모두 선택하십시오.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
반지름 변화율은 주어졌고, 부피 변화율은 구해야 하며, $V=\tfrac43\pi r^3$이 이 둘을 연결함.
연관 변수의 변화율은 시간의 함수이므로, $r^3$을 미분하면 $3r^2\tfrac{dr}{dt}$을 얻어야 합니다 — 단순히 $3r^2$만 미분해서는 안 됩니다. $\tfrac{dr}{dt}$(체인 법칙의 속도 인자)을 놓치는 것이 가장 흔한 실수입니다. 변하는 모든 양은 자체적인 $\tfrac{d(\ )}{dt}$를 기여합니다.
풍선의 부피가 $V=\tfrac43\pi r^3$입니다. 연관 변수의 변화율 방정식을 세우세요.
- $t$에 대해 미분하면: $\dfrac{dV}{dt}=\dfrac43\pi\cdot 3r^2\cdot\dfrac{dr}{dt}=4\pi r^2\dfrac{dr}{dt}$.
- 이는 부피의 증가율과 반지름의 증가율을 연결합니다.
- 주어진 $\tfrac{dr}{dt}$과 현재 $r$을 사용하면, 다음 수업에서 $\tfrac{dV}{dt}$을 구할 수 있습니다.
연관 변화율 문제는 시간에 따라 변하는 두 개 이상의 양의 변화율을 연결합니다. 변수를 연결하는 방정식(보통 기하학)을 쓰고, 연쇄 법칙을 사용하여 $t$에 대해 미분합니다(각 변수마다 $\tfrac{d(\ )}{dt}$이 발생함). 그리고 주어진 변화율과 구해야 하는 변화율을 식별합니다.