| English | 의미 |
|---|---|
| composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/ | 합성함수 |
| Chain Rule/tʃeɪn ruːl/ | 연쇄 미분법 |
| outer/ˈaʊtə/ | 외부 함수 |
| inner/ˈɪnə/ | 내부 함수 |
함수 속의 함수
- $(3x+1)^{5}$의 미분값은 무엇일까요? 이는 한 함수의 幂(지수) — 즉 합성 함수입니다.
- 이를 전개하면 매우 번거롭습니다. 이에 딱 맞는 규칙이 바로 연쇄 법칙입니다.
- 합성 함수란 "안쪽 함수를 바깥 함수가 감싸고 있는 형태"로, $f(g(x))$와 같습니다.
- 연쇄 법칙은 계층을 하나씩 미분한 뒤 그 결과를 곱합니다.
공식
- $y=f(g(x))$의 경우:
-
$$\frac{d}{dx}\big[f(g(x))\big]=f'(g(x))\cdot g'(x)$$
- 말로 표현하면: 바깥 함수의 미분(안쪽은 그대로 두기) × 안쪽 함수의 미분입니다.
- 작은 "$\cdot\, g'(x)$" 부분을 잊어버리면 안 됩니다 — 이것이 핵심입니다.
A composite curve
y = ax² + bx + c
A composite like $(3x+1)^2$ is steeper than its inner line alone — the chain rule multiplies the inner rate in.
The Chain Rule gives $\dfrac{d}{dx}[f(g(x))]=$
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Outer derivative at the inner, times the inner derivative.
바깥과 안쪽 식별하기
- 미분하기 전에 바깥 함수와 안쪽 함수에 이름을 붙여야 합니다.
- $(3x+1)^5$에서: 바깥은 "(무엇인가)$^5$", 안쪽은 $3x+1$입니다.
- 바깥 미분: $5(3x+1)^4$. 안쪽 미분: $3$.
- 곱하기: $\dfrac{d}{dx}[(3x+1)^5]=5(3x+1)^4\cdot 3=15(3x+1)^4$.
For $y=(2x+1)^3$, find $y'$ at $x=0$. (Chain rule: $3(2x+1)^2\cdot2$.)
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$y'=6(2x+1)^2$; at $0$: $6(1)=6$.
For $\sqrt{x^2+1}=(x^2+1)^{1/2}$, select all correct identifications.
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The square root is the outer; $x^2+1$ is the inner with derivative $2x$.
다른 규칙과의 결합
- 연쇄 법칙은 모든 규칙(지수, 곱,商, 기본 미분)과 조합될 수 있습니다.
- $\dfrac{d}{dx}[\sin(x^2)]=\cos(x^2)\cdot 2x$ — 외부 $\sin$, 내부 $x^2$.
- $\dfrac{d}{dx}[e^{3x}]=e^{3x}\cdot 3=3e^{3x}$.
- 깊게 중첩된 함수의 경우, 한 층씩 벗겨내며 각 안쪽 미분값을 곱해 나갑니다.
What is $\dfrac{d}{dx}[\sin(x^2)]$?
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Outer $\cos(x^2)$ times inner derivative $2x$.
The factor most often forgotten in the chain rule is the ____ derivative $g'(x)$.
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You must multiply by $g'(x)$ after differentiating the outer.
What is $\dfrac{d}{dx}[e^{3x}]$?
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Outer $e^{3x}$ times inner derivative $3$.
항상 내부 미분 $g'(x)$을 곱하는 것을 잊지 마십시오. $\frac{d}{dx}[\sin(x^2)]$은 $\cos(x^2)\cdot 2x$이며, 단순히 $\cos(x^2)$이 아닙니다. "$\cdot\,g'(x)$"을 생략하는 것은 미적분에서 가장 흔한 실수입니다 — 외부 미분만으로는 정답의 절반에 불과합니다.
함수 $y=\sqrt{x^2+1}$를 미분하십시오.
- 재구성: $y=(x^2+1)^{1/2}$. 바깥: $(\ )^{1/2}$; 안쪽: $x^2+1$.
- 바깥 미분: $\tfrac12(x^2+1)^{-1/2}$. 안쪽 미분: $2x$.
- $y'=\tfrac12(x^2+1)^{-1/2}\cdot 2x=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.
연쇄 법칙은 합성 함수를 미분합니다: $\frac{d}{dx}[f(g(x))]=f'(g(x))\cdot g'(x)$ — 바깥 함수의 미분(안쪽 유지) × 안쪽 함수의 미분. 먼저 계층을 확인하고, 반드시 $\cdot\,g'(x)$ 인수를 놓치지 마십시오. 중첩된 식에 적용되는 모든 다른 규칙과 결합됩니다.