| English | 의미 |
|---|---|
| exponential/ˌekspəˈnenʃl/ | 지수함수 |
| logarithmic/ˌlɒɡəˈrɪθmɪk/ | 로그함수 |
| elementary derivatives/ˌelɪˈmentəri dɪˈrɪvətɪvz/ | 기본 미분식 |
암기할 만한 네 가지 도함수
- 거듭제곱 법칙은 지수 $x$까지 적용됩니다. 그 너머로는 초등함수(elementary functions) 가 있습니다.
- 이 중 네 가지는 자주 나타나므로, 그들의 도함수를 외워두는 것이 유용합니다.
- 그들은 $\sin x$, $\cos x$, $e^x$, 그리고 $\ln x$입니다.
- 이 네 가지를 배우면, 이전 규칙들과 함께 매우 다양한 식의 도함수를 구할 수 있습니다.
삼각함수 쌍
- $\dfrac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$.
- $\dfrac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$ — 마이너스 부호를 주의하십시오.
- 유용한 검증: 함수 $\sin x$의 $0$에서의 기울기는 $1$(가장 급격한 상승)이고, $\cos 0=1$입니다. ✓
- (이것들은 라디안(radians) 단위의 $x$가 필요합니다 — 깔끔한 공식은 라디안에서만 성립합니다.)
The slope of sine is cosine
Where $\sin x$ is steepest (at $0$) its slope is $1$ — exactly $\cos 0$. The derivative of $\sin$ is $\cos$.
What is $\dfrac{d}{dx}[\sin x]$?
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$\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$.
$\dfrac{d}{dx}[\cos x]=$ ____ $\sin x$ (mind the sign).
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The derivative of cosine is $-\sin x$.
지수함수와 로그함수
- $\dfrac{d}{dx}[e^x]=e^x$ — 지수함수(exponential function) 의 도함수는 자신本身입니다. 기울기는 항상 높이에 같습니다.
- $\dfrac{d}{dx}[\ln x]=\dfrac{1}{x}$ — 로그함수(logarithmic) 의 도함수이며, $x>0$에 대해 유효합니다.
- $e^x$는 미분 시 절대 변하지 않는 유일한 함수입니다.
- $\ln x$가 단순 역수 $\tfrac1x$로 변환됩니다 — 놀라울 만큼 깔끔한 결과입니다.
$e^x$ is its own derivative.
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$\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$ — unique among functions.
What is $\dfrac{d}{dx}[\ln x]$ (for $x>0$)?
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$\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$.
결합 규칙과 함께 섞기
- 이 기본 미분함수들은 합, 차, 상수배 규칙에 바로 적용됩니다.
- $\dfrac{d}{dx}[3\sin x-2e^x]=3\cos x-2e^x$.
- $\dfrac{d}{dx}[x^2+\ln x]=2x+\dfrac1x$.
- 각 항에 맞는 규칙으로 미분한 뒤 결합하면 됩니다. 네 가지 사실 외에는 배울 것이 없습니다.
Differentiate $3\sin x-2e^x$.
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$3\cos x$ and $e^x$ stays $e^x$: $3\cos x-2e^x$.
Select all correct elementary derivatives.
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The last is wrong — $\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$, not $x$.
부호와 정의역에 유의하십시오. $\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$ (마이너스가 가장 흔한 실수입니다). $e^x$은 자신 자체의 미분입니다 — 이를 위해 지수 법칙을 적용하지 마십시오. 또한 $\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$은 오직 $x>0$, 즉 $\ln$의 정의역에 대해서만 성립합니다.
함수 $h(x)=4\cos x+e^x-5\ln x$를 미분하십시오.
- $\dfrac{d}{dx}[4\cos x]=4(-\sin x)=-4\sin x$.
- $\dfrac{d}{dx}[e^x]=e^x$; $\quad\dfrac{d}{dx}[-5\ln x]=-\dfrac{5}{x}$.
- $h'(x)=-4\sin x+e^x-\dfrac{5}{x}$.
네 가지 기본 미분함수를 암기하세요: $\frac{d}{dx}[\sin x]=\cos x$, $\frac{d}{dx}[\cos x]=-\sin x$, $\frac{d}{dx}[e^x]=e^x$, $\frac{d}{dx}[\ln x]=\tfrac1x$. 이들은 합/차/상수배 규칙과 조합되어 혼합된 식을 미분합니다. $\cos$의 마이너스를 주의하고, $x$는 라디안(rad) 단위로 유지하며, $e^x$은 그 자체의 미분함수임을 기억하세요.