| English | 의미 |
|---|---|
| polynomial/ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | 다항식 |
다항식을 분해하는 네 가지 규칙
- 거듭제곱 법칙은 한 항만 처리합니다. 전체 다항식을 미분하려면 항들을 결합할 필요가 있습니다.
- 네 가지 간단한 규칙을 사용하면 머릿속으로 항별로 수행할 수 있습니다.
- 이 규칙들은 상수, 합, 차이, 그리고 계수를 다룹니다.
- 거듭제곱 법칙과 함께 사용하면 한 번의 연산으로 어떤 다항식도 미분할 수 있습니다.
상수, 합, 차이
- 상수 규칙: 상수의 도함수는 $0$입니다. 수평선의 기울기는 0입니다: $\dfrac{d}{dx}[7]=0$.
- 합의 규칙: $\dfrac{d}{dx}[f+g]=f'+g'$ — 각 부분을 미분하여 더합니다.
- 차이의 규칙: $\dfrac{d}{dx}[f-g]=f'-g'$ —同上，但 빼는 연산을 사용합니다.
- 따라서 긴 식을 나누어 각 항을 개별적으로 처리할 수 있습니다.
$\dfrac{d}{dx}[12]$은 무엇입니까?
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상수의 미분은 항상 $0$입니다.
합의 법칙에 따라, $\dfrac{d}{dx}[f+g]=f'+$ ____입니다.
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각 항을 미분한 후 더합니다.
상수 배수
- 상수 배수 규칙: 계수는 그대로 유지됩니다: $\dfrac{d}{dx}[k\,f]=k\,f'$.
- $\dfrac{d}{dx}[5x^3]=5\cdot 3x^2=15x^2$.
- 앞쪽에 있는 숫자는 미분 시 변화하지 않으며, 오직 $x$ 부분만 바뀝니다.
- 합의 규칙과 결합하면: $\dfrac{d}{dx}[5x^3-4x]=15x^2-4$.
세차 함수와 변하는 기울기
y = ax³ + bx
다항식의 미분은 또 다른 다항식입니다 — 계수를 드래그하고 기울기가 양수인지 음수인지在哪里를 상상하십시오.
$f(x)=5x^3$일 때 $f'(2)$을 구하시오.
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$f'(x)=15x^2$, 따라서 $f'(2)=15\cdot4=60$입니다.
$\dfrac{d}{dx}[4x^2+3x-8]$에 대해 모든 올바른 항의 도함수를 선택하십시오.
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상수 $-8$의 도함수는 $0$이며, $-8$가 아닙니다.
한 번의 연산으로 다항식 미분하기
- 다항식을 항별로 읽으며, 거듭제곱 법칙과 계수를 적용합니다.
- $\dfrac{d}{dx}[3x^4-2x^2+7x-9]=12x^3-4x+7-0=12x^3-4x+7$.
- 상수 $-9$가 사라지고, $7x$은 단순히 $7$로 변함을注意到。
- 연습을 통해 직접 도함수를 쓸 수 있으며, 하scratch work가 필요 없습니다.
함수 $f(x)=3x^4-2x^2+7x-9$를 미분하십시오.
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항별로: $12x^3$, $-4x$, $+7$, 그리고 상수 $\to 0$.
합의 법칙은 $\dfrac{d}{dx}[f\cdot g]$을 $f'\cdot g'$로 계산하게 해줍니다.
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합/차의 법칙은 $+$과 $-$에만 적용되며, 곱의 경우 곱의 법칙이 필요합니다.
여기에 '积의 규칙 shortcut' 은 숨어 있지 않습니다: $\frac{d}{dx}[f\cdot g]$는 아니요 $f'\cdot g'$가 아닙니다. 합의/차이 규칙은 오직 $+$와 $-$ 사이에서만 분할됩니다. 곱셈과 나눗셈은 자체 규칙이 필요합니다(수업 2.8–2.9). 또한, 상수의 도함수는 $0$이지 상수 자체는 아닙니다.
함수 $p(x)=6x^3+\dfrac{4}{x^2}-x+10$를 미분하십시오.
- 다시 쓰기: $p(x)=6x^3+4x^{-2}-x+10$.
- 항별로: $6\cdot3x^2$, $4\cdot(-2)x^{-3}$, $-1$, 그리고 $0$.
- $p'(x)=18x^2-8x^{-3}-1=18x^2-\dfrac{8}{x^3}-1$.
네 가지 결합 규칙: 상수 $\to 0$; 합/차이는 항별로 미분합니다; 상수 배수는 계수를 앞쪽에 유지합니다($\frac{d}{dx}[kf]=kf'$). 거듭제곱 법칙과 함께 사용하면 다항식을 한 번의 연산으로 미분할 수 있습니다 — 하지만 오직 $+$와 $-$ 사이에서만 분할되며, 곱셈 사이로는 절대 분할되지 않습니다.