| English | 의미 |
|---|---|
| power/ˈpaʊə/ | 거듭제곱 |
| Power Rule/ˈpaʊə ruːl/ | 거듭제곱 법칙 |
| integer/ˈɪntɪdʒə/ | 정수 |
극한을 대체하는 단축법
- 극한 정의를 통해 모든 도함수를 계산하는 것은 느립니다. 패턴이 있습니다.
- 지수 $x$의 경우, 하나의 규칙으로 즉시 해결됩니다: ** 거듭제곱 법칙(Power Rule)**.
-
$$\frac{d}{dx}\big[x^n\big]=n\,x^{\,n-1}$$
- "지수를 계수로 내려오고, 지수에서 1을 뺍니다."
거듭제곱과 그 접선 기울기
y = x²
$y=x^2$에 대해 거듭제곱 법칙은 기울기 $2x$을 줍니다 — 점을 이동하고 접선 기울기가 $2x$과 일치하는지 확인하십시오.
작동하는 모습 보기
- $\dfrac{d}{dx}[x^3]=3x^2$ — 지수 $3$가 앞에 붙고, 지수는 $3\to2$로 바뀝니다.
- $\dfrac{d}{dx}[x]=1\cdot x^0=1$ — 함수 $x$의 도함수는 $1$입니다.
- $\dfrac{d}{dx}[x^{10}]=10x^9$.
- 극한 정의와 일치합니다(우리가 구한 값 $\frac{d}{dx}[x^2]=2x$)但是, 한 줄로 끝납니다.
$\dfrac{d}{dx}[x^5]$은 무엇입니까?
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
$5$을 내려오고 지수를 줄입니다: $5x^{5-1}=5x^4$.
$f(x)=x^4$일 때 $f'(2)$을 구하시오.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
$f'(x)=4x^3$, 따라서 $f'(2)=4\cdot8=32$입니다.
임의의 지수에 적용됨
- 지수 $n$는 양의 정수(integer) 일뿐만 아니라, 음수(negative) 나 유리수(rational/fractional) 일 수 있습니다.
- 음수인 경우: $\dfrac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{-3}$.
- 유리수인 경우: $\dfrac{d}{dx}\big[x^{1/2}\big]=\tfrac12 x^{-1/2}$.
- 매번 동일한 규칙: 지수 $n$를 내려오고, 지수에서 1을 감산합니다.
$\dfrac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{\square}$. 지수 $\square$은 ____입니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
$-2$을 하나 줄입니다: $-2-1=-3$.
거듭제곱 법칙은 재작성 후 이 중 어떤 것을 바로 미분합니까?
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
재작성 후 모두 $x$의 거듭제곱입니다; $5^x$은 지수함수이며 $x$의 거듭제곱이 아닙니다.
먼저 식을 정리한 후 미분하기
- 근호와 역수는 지수를 숨기고 있습니다 — 규칙을 적용하기 전에 이를 $x^n$로 다시 쓰십시오.
- $\sqrt{x}=x^{1/2}$, 따라서 $\dfrac{d}{dx}[\sqrt x]=\tfrac12 x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt x}$.
- $\dfrac{1}{x^3}=x^{-3}$, 따라서 $\dfrac{d}{dx}\!\left[\dfrac1{x^3}\right]=-3x^{-4}=-\dfrac{3}{x^4}$.
- 모든 항을 지수(powers) 형태로 변환하는 것이 핵심 설정 단계입니다.
재작성하고 미분하십시오: $\dfrac{d}{dx}[\sqrt x]$은 ...과 같습니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
$\sqrt x=x^{1/2}\Rightarrow \tfrac12 x^{-1/2}=\tfrac1{2\sqrt x}$.
거듭제곱 법칙은 $2^x$에 적용되어 $x\cdot 2^{x-1}$을 줍니다.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
거듭제곱 법칙은 상수 지수를 가진 변수 베이스가 필요합니다; $2^x$은 지수함수입니다(다음 수업).
거듭제곱 법칙은 변수的底(base)에 상수의 지수 ($x^n$)에 적용됩니다. 상수의底에 변수의 지수에는 적용되지 않습니다 — $\frac{d}{dx}[2^x]\neq x\,2^{x-1}$. (이는 지수함수이며, 다음 수업에서 다룹니다.) 또한 지수를 감산하는 것을 잊지 마십시오: $\frac{d}{dx}[x^{-2}]=-2x^{-3}$가 되어야 하며, $-2x^{-2}$가 아닙니다.
함수 $g(x)=\sqrt[3]{x^2}+\dfrac{1}{x}$를 미분하십시오.
- 지수 형태로 다시 쓰기: $g(x)=x^{2/3}+x^{-1}$.
- 항별로 거듭제곱 법칙 적용: $\tfrac23 x^{-1/3}$ 및 $-1\cdot x^{-2}$.
- $g'(x)=\tfrac23 x^{-1/3}-x^{-2}=\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}-\dfrac1{x^2}$.
거듭제곱 법칙 $\frac{d}{dx}[x^n]=n\,x^{n-1}$는 임의의 상수 지수(정수, 음수, 유리수 포함)에 적용됩니다. 근호와 역수를 먼저 지수 형태로 다시 쓴 다음, 지수를 내려오고 지수에서 1을 감산합니다. 이는 거듭제곱 함수에 대한 극한 정의를 대체합니다.