| English | 의미 |
|---|---|
| average rate of change/ˈævrɪdʒ reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | 평균 변화율 |
| instantaneous rate of change/ˌɪnstənˈteɪnɪəs reɪt ɒv tʃeɪndʒ/ | 순간 변화율 |
| difference quotient/ˈdɪfrəns ˈkwəʊʃənt/ | 차상 |
| secant line/ˈsiːkənt laɪn/ | 할선 |
| tangent line/ˈtændʒənt laɪn/ | 접선 |
From "over an interval" to "at an instant"
- 단원 1은 극한의 개념을 구축했습니다. 이제는 이를 변화율을 측정하는 데 사용합니다.
- 한 구간 전체에서의 평균 변화율은 총 변화량 ÷ 구간의 너비입니다.
- 특정 순간의 순간 변화율은 속도계에서 보이는 값입니다.
- 두 개념을 연결하는 다리가 바로 극한이며, 이것이 단원 2의 핵심 목적입니다.
Average rate = slope of a secant
- $f$의 $x=a$부터 $x=b$까지의 평균 변화율은 차분 비입니다:
-
$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$
- 기하학적으로 이는 $\big(a,f(a)\big)$과 $\big(b,f(b)\big)$을 잇는 삼선(secant line) 의 기울기입니다.
- 이는 평균입니다: $a$과 $b$ 사이의 모든变化情况를 매끄럽게的平均化(平均化/平滑处理)하여 표현합니다.
Find the average rate of change of $f(x)=x^2$ on $[1,3]$.
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$\dfrac{9-1}{3-1}=\dfrac{8}{2}=4$.
The average rate of change over an interval equals the slope of the...
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Average rate = rise over run between the two endpoints = secant slope.
Shrink the interval
- $x=a$에서의 변화율을 얻으려면, $b$을 $a$ 쪽으로 밀어내며 삼선의 기울기를 관찰하십시오.
- 구간이 작아짐에 따라 삼선은 $a$에서의 접선(tangent line) 으로 회전합니다.
- 극한 기울기는 $a$에서의 순간 변화율입니다.
- 특정 순간에는 시간이 흐르지 않습니다. '점에서의 변화율'이라는 개념이 의미 있는 것은 오직 극한 때문입니다.
Slide the secant into a tangent
y = x²
Move the point along $y=x^2$ — the tangent slope you read off is the instantaneous rate, the limit of the secant slopes.
The instantaneous rate of change at a point equals the slope of the ____ line there.
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It is the limit of secant slopes as the interval shrinks — the tangent slope.
Reading the rate in context
- 부호는 방향을 나타냅니다: 양의 변화율 → 증가, 음의 변화율 → 감소.
- 크기는 속도를 나타냅니다: 절댓값이 클수록 변화가 빠릅니다.
- 단위 중요: 시간(초)에 따른 위치(미터)의 경우, 이 비율은 $\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ — 속도로 표현됩니다.
- 즉, 평균 변화율 = 직선(구간 전체), 순간 변화율 = 접선(한 점)의 기울기입니다.
If the average rate of change of $f$ on $[0,4]$ is $0$, then $f$ must be constant on $[0,4]$.
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It only means $f(0)=f(4)$; $f$ could rise then fall (e.g. go out and come back).
For $f(x)=x^2$, average rates on $[3,3.1]$ and $[3,3.01]$ are $6.1$ and $6.01$. Estimate the instantaneous rate at $x=3$.
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The averages close in on $6$.
A position function has instantaneous rate $-5\,\tfrac{\text{m}}{\text{s}}$ at time $t$. Select all correct readings.
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Negative rate = moving in the negative direction (so position decreases); its magnitude is the speed; and it is the tangent slope.
평균 변화율과 순간 변화율은 서로 교체하여 사용할 수 없습니다. $[a,b]$ 구간의 평균 변화율이 0일 수 있지만, 내부 모든 지점에서의 순간 변화율은 클 수 있습니다(나아가 다시 돌아오는情况进行 Imagine). 구간이 shrinking되는 극한에서만 평균 변화율이 순간 변화율이 됩니다.
$f(x)=x^2$에 대해 $[2,4]$ 구간의 평균 변화율을 구하고, $x=2$에서의 순간 변화율을 추정하십시오.
- Average on $[2,4]$: $\dfrac{f(4)-f(2)}{4-2}=\dfrac{16-4}{2}=6$.
- $2$로 수축하세요:区间 $[2,2.1]$에서는 $\dfrac{4.41-4}{0.1}=4.1$;区间 $[2,2.01]$에서는 $4.01$.
- 평균 변화율이 $4$에 수렴합니다 — $x=2$에서의 순간 변화율은 $4$입니다.
$[a,b]$ 구간의 평균 변화율은 차분 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ — 직선의 기울기입니다. 구간을 shrinking하면 직선은 접선에 접근하며, 그 기울기는 해당 지점의 순간 변화율입니다.