| English | 의미 |
|---|---|
| outer/ˈaʊtə/ | 외부 |
| inner/ˈɪnə/ | 내부 |
이동된 선 주위의 와셔
- 마지막 단계: $x$축이나 $y$축이 아닌 선을围绕着 두 곡선 영역을 회전시키는 것입니다.
- 방금 배운 두 개념을 결합하세요: 와셔(간격 → 고리)와 이동된 축(반지름 조정).
- 공식은 $V=\pi\int\big(R^2-r^2\big)$로 그대로이지만, 오직 $R$과 $r$만 새 선까지 재측정됩니다.
- 두 거리 모두를 정확히 구하면 미적분 과정은 정석적으로 진행됩니다.
두 반지름 모두 새 축까지 측정
- 수평축 $y=k$의 경우: $R=|\text{far curve}-k|$과 $r=|\text{near curve}-k|$.
- 각 반지름은 $y=0$까지의 거리가 아니라, 해당 곡선에서 이동된 직선까지의 거리입니다.
- 바깥 반지름은 축에서 더 먼 곡선까지 도달하고, 안쪽 반지름은 더 가까운 곡선까지 도달합니다.
- 그런 다음 일반적으로 $V=\pi\int\big(R^2-r^2\big)$를 적용합니다.
이동된 축 위 두 곡선
y = ax² + bx
$y=-1$ 주위로 회전하면 두 반지름 모두 $1$만큼 커짐 — 외경 $\sqrt x+1$, 내경 $x+1$; 여전히 $R^2-r^2$입니다.
$y=\sqrt x$과 $y=x$ 사이의 영역을 $y=-1$ 주위로 회전할 때, 외경과 내경 반지름은...
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두 반지름을 모두 $+1$만큼 이동하여 $y=-1$까지 낮춥니다.
이동된 축의 경우, 새로운 직선까지 외경과 내경 반지름을 모두重新 측정해야 합니다.
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하나만 아니라 두 개를 모두 이동합니다.
어떤 곡선이 더 먼지 주의하기
- 축을 이동하면 바깥/안쪽 곡선이 바뀌는 경우가 있습니다 — 선을 옮긴 후 재확인하세요.
- 영역 아래를 축으로 회전: 아래쪽 곡선이 이제 내부 곡선(축에 더 가까움)이 됩니다.
- 영역 위를 축으로 회전: 역할이 바뀝니다.
- 항상 실제 회전축에 相对的로 내부/외부를 확인하십시오.
축을 이동한 후에는 ...해야 합니다.
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축의 위치가 외경/내경 역할을 바꿀 수 있습니다.
여전히: 먼저 반지름을 제곱합니다
- 모든 원반과 마찬가지로 $R^2-r^2$을 빼기 전에 (이동된) 반지름을 제곱하십시오.
- 절대 $(R-r)^2$을 하지 마십시오. 그리고 plain-axis 반지름을 재사용하지 마십시오.
- 축에서 각 곡선까지 두 거리 구간을 그려서 혼동을 방지하십시오.
- 그런 다음 적절한 변수를 따라 적분하십시오.
이동된 축에서도 와셔 피적분함수는 $R^2-r^2$이며, $(R-r)^2$이 아닙니다.
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항상 뺄기 전에 각 반지름을 제곱해야 합니다.
$R=\sqrt x+1$, $r=x+1$ on $[0,1]$을 $y=-1$ 주위로 회전할 때의 부피는...
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$\pi\int_0^1(2\sqrt x-x-x^2)\,dx=\pi(\tfrac43-\tfrac12-\tfrac13)=\tfrac{\pi}{2}$.
이동된 와셔법은 다음 두 개념 중 무엇을 결합합니까?
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와셔(간격 → 원환체) 및 이동된 반지름.
여기에 두 가지 결합된 함정이 있습니다: (1) 두 반지름 모두 새로운 축으로 이동하고(하나만 이동하는 것이 아님), (2) 여전히 $R^2-r^2$을 사용하되, $(R-r)^2$을 사용하지 마십시오. 이동 후 어떤 곡선이 외부인지 다시 확인하십시오. 축의 위치가 역할을 바꿀 수 있습니다. 제곱하기 전에 실제 선까지 두 반지름 구간을 스케치하십시오.
$y=\sqrt x$(상단)과 $y=x$(하단) 사이의 영역을 $[0,1]$ 상에서 직선 $y=-1$을 중심으로 회전시키십시오.
- 두 반지름을 모두 $y=-1$로 이동시킵니다: 외부 $R=\sqrt x+1$, 내부 $r=x+1$.
- $V=\pi\displaystyle\int_0^1\Big((\sqrt x+1)^2-(x+1)^2\Big)\,dx=\pi\int_0^1\big(x+2\sqrt x - x^2 - 2x\big)\,dx$.
- $=\pi\int_0^1\big(2\sqrt x - x - x^2\big)\,dx=\pi\big(\tfrac43-\tfrac12-\tfrac13\big)=\tfrac{\pi}{2}$.
이동된 축에 대한 원반법: $V=\pi\int\big(R^2-r^2\big)$을 사용하되, 외부와 내부 반지름을 그 선까지 재측정하십시오(예: 영역 아래 $y=k$에 대해 이동량을 더함). 어떤 곡선이 외부인지 다시 확인하고, 반드시TRACEing 각 반지름을 제곱한 후 빼십시오 — 절대 $(R-r)^2$은 아닙니다.