동일한 원리, 다른)slice 모양
- 부피 공식 $V=\int_a^b A(x)\,dx$은 모든 단면 모양에 적용되며, 단순히 $A(x)$만 알면 됩니다.
- 정사각형 외에 AP 수학에서는 삼각형 및 반원 단면을 자주 다룹니다.
- 새로운 단계는 해당 모양에 맞는 면적 공식(밑변을 변수로 표현)을 쓰는 것입니다.
- $A(x)$를 기하학적으로 구한 후, 이전과 같이 적분하십시오.
삼각형 단면
- 변의 길이가 $s$인 정삼각형의 경우, 면적은 $=\dfrac{\sqrt3}{4}s^2$입니다.
- 다리 길이가 $s$인 오른쪽 이등변삼각형의 경우, 면적은 $=\dfrac12 s^2$; 일반 삼각형의 경우 $\tfrac12\,\text{base}\times\text{height}$입니다.
- 올바른 삼각형 면적 공식에 slice가 가로지르는 간격인 밑변 길이 $s(x)$를 대입하십시오.
- $A(x)=(\text{shape constant})\cdot s(x)^2$을 작성한 후 적분하십시오.
슬라이스가 변하는 밑변
y = a·√x
같은 밑변 영역이라도 슬라이스 모양에 따라 부피가 달라집니다 — 상수 배 $s(x)^2$만 바뀝니다.
辺 $s$인 정삼각형의 면적은...
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정삼각형: $\frac{\sqrt3}{4}s^2$입니다.
각 단면 도형을 면적 상수(배 $s^2$)에 매칭하세요.
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각 면적은 상수에 밑변의 제곱을 곱한 값입니다.
반원 단면
- 지름이 $s$인 반원은 반지름이 $\dfrac{s}{2}$이므로, 면적은 $\dfrac12\pi\Big(\dfrac{s}{2}\Big)^2=\dfrac{\pi}{8}s^2$입니다.
- slice의 밑변은 지름이므로, 제곱하기 전에 반지름을 구하기 위해 반으로 나누어야 합니다.
- $A(x)=\dfrac{\pi}{8}\big(s(x)\big)^2$.
- 이 인자를 주의하십시오: 지름($\to$)을 반지름으로 바꾸는 것은 2로 나누는操作인데, 이를 생략하기 쉽습니다.
반원형 단면의 지름은 밑변 $s(x)$ 위에 있습니다. 반지름은...
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밑변이 지름이므로 반지름은 절반입니다.
지름이 밑변 $s$인 반원을 회전할 때, 제곱하기 전에 $s$을 절반으로 나누어 반지름을 구해야 합니다.
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반지름 $=s/2$; 이를 잊는 것은 흔한 실수입니다.
항상 "밑변에 대한 면적"입니다
- 이 모든 것이 $A(x)=(\text{constant depending on shape})\times s(x)^2$입니다.
- 정사각형 $\to 1$; 정삼각형 $\to \tfrac{\sqrt3}{4}$; 반원 $\to \tfrac{\pi}{8}$; 오른쪽 이등변삼각형 $\to \tfrac12$입니다.
- 영역에서 밑변 $s(x)$를 구하고, 해당 모양의 면적 공식에 대입하여 적분하십시오.
- 미적분 과정은 동일하며, 전상수(constant)만 바뀔 뿐입니다.
$y=\sqrt x$ 아래, $[0,4]$ 위에서, 원형 슬라이스: $A(x)=\tfrac{\pi}{8}x$. 그러면 $V=$
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$\tfrac{\pi}{8}\int_0^4 x\,dx=\tfrac{\pi}{8}\cdot8=\pi$.
모든 단면 부피는 $\int_a^b A(x)\,dx$이며, 여기서 $A(x)$ = (도형 상수) $\times s(x)$ ____입니다.
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면적은 밑변의 제곱에 비례하여 scaling됩니다.
반원의 경우, slice의 밑변은 지름이므로 반지름은 $\frac{s}{2}$입니다(반지름인 것처럼 전체 밑변을 제곱하지 마십시오). 또한 삼각형 공식을 명시된 유형(정삼각형 vs 오른쪽 이등변삼각형)에 맞게 선택하십시오(전상수가 다릅니다). 밑변 $s(x)$은 여전히 slice가 가로지르는 간격입니다.
basics가 $y=\sqrt x$의 $[0,4]$ 위 영역이며, 밑변에 지름을 둔 반원 단면을 가집니다.
- 지름이 $s(x)=\sqrt x$이므로 반지름이 $=\dfrac{\sqrt x}{2}$입니다.
- $A(x)=\dfrac{\pi}{8}(\sqrt x)^2=\dfrac{\pi}{8}x$.
- $V=\displaystyle\int_0^4 \dfrac{\pi}{8}x\,dx=\dfrac{\pi}{8}\cdot 8 = \pi$.
삼각형 또는 반원 단면의 경우, 해당 모양의 면적을 사용하는 공식 $V=\int_a^b A(x)\,dx$을 쓰십시오: 정삼각형 $\frac{\sqrt3}{4}s^2$, 오른쪽 이등변삼각형 $\frac12 s^2$, 반원 $\frac{\pi}{8}s^2$(밑변 $=$ 지름이므로 반지름 $=\frac s2$)입니다. 밑변 $s(x)$을 구하고 적분하십시오.