| English | 의미 |
|---|---|
| cross sections/krɒs ˈsekʃnz/ | 단면 |
은 판을 쌓아 입체를 만들기
- 적분은 면적뿐만 아니라 부피도 구합니다 — 입체의 얇은 썩개기를 더함으로써 말입니다.
- 축에 수직으로 입체를 썩이면, 각 썩개기는 일정한 단면적 $A(x)$를 가진 얇은 판이 됩니다.
- 모두 합산하세요: $V=\displaystyle\int_a^b A(x)\,dx$ — 단면적의 적분 값입니다.
- 이 수업에서는 단면이 사각형이나 직사각형인 입체를 다룹니다.
일반적인 부피 공식
- $x$에서의 단면적이 $A(x)$이고 두께가 $dx$라면, 미소 부피는 $A(x)\,dx$입니다.
- 입체 전체에 대해 더합니다: $$V=\int_a^b A(x)\,dx$$
- everything을 정리하면: 단면적을 $x$에 대한 함수로 쓰고, 적분하는 것입니다.
- 어려운 부분은 미적분이 아니라 한 조각의 기하학입니다.
The volume of a solid with cross-sectional area $A(x)$ is...
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Add up slabs $A(x)\,dx$.
To use $V=\int_a^b A(x)\,dx$, the cross-section slices must be...
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Slices are perpendicular to the axis you integrate along.
정사각형 단면
- 일반적인 구성: 두 곡선 사이의 영역을 밑변으로 하는 정사각형 단면입니다.
- 밑변 길이가 $s(x)$ (주로 두 곡선 사이의 간격인 $f(x)-g(x)$)일 때, 정사각형의 면적은 $s(x)^2$입니다.
- 따라서 $V=\displaystyle\int_a^b \big(s(x)\big)^2\,dx$입니다.
- 각 정사각형의 밑변은 해당 영역 전체를 가로지르며, 면적은 밑변의 제곱입니다.
The base region under √x
y = a·√x
Each square slice sits on the base; its side is the height $\sqrt{x}$, so its area is $(\sqrt{x})^2=x$.
For square cross sections with base $s(x)$, the area is...
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A square of side $s$ has area $s^2$.
The base length of a cross section is often the distance between the boundary curves, $f(x)-g(x)$.
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The base spans the region between the curves.
직사각형 단면
- 직사각형의 경우, 면적은 밑변($\times$) × 높이($A(x)=s(x)\cdot h(x)$)입니다.
- 높이는 밑변에 대한 일정한 배수일 수 있으며, 문제에서 별도로 주어질 수도 있습니다.
- $V=\displaystyle\int_a^b s(x)\,h(x)\,dx$.
- 높이에 대한 규칙을 정확히 파악하기 위해 문제를 주의 깊게 읽으십시오.
Base under $y=\sqrt x$ on $[0,4]$, square cross sections: $A(x)=x$. Find $V=\int_0^4 x\,dx$.
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$\big[\tfrac{x^2}{2}\big]_0^4=8$.
For rectangular cross sections, area = base ____ height.
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$A=s\cdot h$ for a rectangle.
밑변 길이 $s(x)$는 보통 경계 곡선 사이의 거리($f(x)-g(x)$) 또는 곡선과 축 사이의 거리입니다. 제곱하기 전에 밑변이 무엇인지 확인하십시오. 정사각형의 경우, 면적은 $s(x)^2$입니다(전체 간격의 제곱임을 명심하십시오).slice은 적분하는 축에 수직이어야 합니다.
basics가 $y=\sqrt{x}$의 $x=0$부터 $4$까지의 아래 영역이며, $x$축에 수직인 정사각형 단면을 가진 입체입니다.
- 각 정사각형의 밑변은 $s(x)=\sqrt{x}$(곡선부터 $x$축까지)입니다.
- 단면적: $A(x)=(\sqrt{x})^2=x$입니다.
- $V=\displaystyle\int_0^4 x\,dx=\Big[\tfrac{x^2}{2}\Big]_0^4=8$.
입체의 부피는 그 단면적의 적분인 $V=\int_a^b A(x)\,dx$입니다. 정사각형 단면(밑변 $s(x)$)의 경우 $A(x)=s(x)^2$; 직사각형의 경우 $A(x)=s(x)\cdot h(x)$입니다. 밑변 $s(x)$(보통 곡선 사이의 간격)를 구하고, 식 $A(x)$을 세운 뒤 적분하십시오.