| English | 의미 |
|---|---|
| subintervals/ˌsʌbɪnˈtɜːvlz/ | 부분 구간 |
곡선이 계속 교차할 때
- 때로는 두 곡선이 두 번 이상 교차하며, 그 과정에서 '상단' 곡선이 바뀝니다.
- 단일 상단-하단 적분은 영역의 일부에서 부호를 잘못 계산하게 됩니다.
- 해결책: 각 교차점에서 영역을 분할하여 각 조각을 개별적으로 적분합니다.
- 조각들의 (양수인) 면적을 모두 더하여 전체 면적을 구합니다.
모든 교점을 먼저 찾으세요
- $f(x)=g(x)$를 완전히 풉니다 — 외부 두 점이 아니라 구간 내 모든 교차점을 찾으십시오.
- 이러한 교점은 순서가 고정되는 부분 구간의 경계입니다.
- $x$ 축을 따라 왼쪽에서 오른쪽으로 정렬하십시오.
- 인접한 교점 쌍 하나하나가 영역의 한 조각을 정의합니다.
A cubic crossing a line 3 times
y = ax³ + bx
$y=x^3$ and $y=x$ cross at $-1,0,1$; the top curve switches at $0$, so the area needs two pieces.
Where do $y=x^3$ and $y=x$ cross?
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$x^3=x\Rightarrow x(x-1)(x+1)=0$.
The intersection points divide the region into ____ where the ordering is fixed.
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On each subinterval one curve is consistently on top.
상단과 하단이 바뀌는 곳에서 분할
- 각 부분 구간에서 하나의 곡선이 항상 상단에 위치합니다 — 특정 점을 테스트하여 어느 쪽인지 확인하십시오.
- 해당 구간에서 올바른 상단 곡선을 사용하여 (상단 $-$ 하단)의 별도의 적분을 설정하십시오.
- 상단 곡선이 조각 사이에서 바뀌기 때문에, 피적분함수는 조각마다 다릅니다.
- 전체 면적은 이 별도 적분들의 합입니다.
You split the region at each intersection because...
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Where curves swap, part of the region would count negative.
Using one integral of $f-g$ across all crossings (curves swapping) gives...
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Sign-cancellation understates the true area.
절대값 면적을 더하세요
- 각 부분구간의 적분은 올바른 상단-하단 차이를 사용하여 양수입니다.
- 모두 더하세요: $A=\displaystyle\sum \int_{\text{piece}} (\text{upper}-\text{lower})\,dx$.
- 동등하게, $A=\displaystyle\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx$ — 절대값 간격을 적분한 것입니다.
- 두 관점 모두 동일한 기하학적 총 면적을 제공합니다.
For $y=x^3$ and $y=x$ on $[-1,1]$, each piece has area $\tfrac14$. Find the total area.
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$\tfrac14+\tfrac14=\tfrac12$.
Integrating $|f(x)-g(x)|$ over the whole interval gives the same total area as splitting.
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The absolute value handles the switching automatically.
교점 전체에 걸쳐 하나의 $f-g$ 적분을 사용하지 마십시오 — 곡선이 교체되는 곳에서는 영역의 일부가 음수 값을 기여하여 실제 면적을 상쇄합니다. 모든 교점에서 분할하여 각 조각에서 상단-하단을 올바르게 취하거나(또는 $|f-g|$ 적분), 외부 끝점이 아닌 모든 교점을 찾으셔야 합니다.
$y=x^3$와 $y=x$ 사이의 면적 on $[-1,1]$.
- 교점: $x^3=x\Rightarrow x(x^2-1)=0\Rightarrow x=-1,0,1$ — 세个点.
- $(-1,0)$ 구간: $x^3>x$ ($-0.5$ 테스트). $(0,1)$ 구간: $x>x^3$ ($0.5$ 테스트). 위 곡선은 $0$에서 바뀝니다.
- $A=\displaystyle\int_{-1}^{0}(x^3-x)\,dx+\int_{0}^{1}(x-x^3)\,dx=\tfrac14+\tfrac14=\tfrac12$.
곡선이 두 번 이상 교차할 때, 모든 교점을 찾고, 영역을 부분 구간으로 분할하며, 각 구간에서 상단-하단을 적분하십시오 (상단 곡선은 구간 사이에서 교체됨). 조각들을 더하십시오 — 동등하게, $|f(x)-g(x)|$를 적분하십시오. 하나의 직선 적분 $f-g$는 면적을 잘못 상쇄하게 됩니다.