| English | 의미 |
|---|---|
| separable/ˈsepərəbl/ | 분리가능함 |
양변에 $x$'들과 $y$'들을 배치하기
- 미분방정식을 실제 해하기 위해(스케치만 하는 것이 아니라), 적분을 수행하지만 먼저 변수를 분리해야 합니다.
- 한 변에 오직 $y$만, 다른 변에 오직 $x$만 있도록 쓸 수 있다면 미분방정식은 변수 분리 가능(separable) 합니다.
- $\dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)$는 판별 가능한 형태입니다: $x$ 부분과 $y$ 부분의 곱으로 표현됩니다.
- 그러면 각 변은 독립적으로 적분될 수 있습니다.
어떤 방정식이 분리 가능한가요?
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$xy$는 ($x$-부분)$\times$($y$-부분)으로 인분됩니다 — 합은 그렇지 않습니다.
$\dfrac{dy}{dx}=x+y$는 분리 불가능한데, 왜냐하면 ____을 나눌 수 없기 때문입니다.
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분리에는 합이 아닌 곱이 필요합니다.
변수 분리하기
- $\dfrac{dy}{dx}$를 미분의 비로 간주하고 각 변수를各自의 변으로 이동시키십시오.
- 식 $\dfrac{dy}{dx}=g(x)\,h(y)$에서: $h(y)$으로 나누고 $dx$을 곱하십시오:
-
$$\frac{1}{h(y)}\,dy = g(x)\,dx$$
- 이제 각 변은 오직 하나의 변수와 그 미분만을 포함하므로, 적분에 준비되었습니다.
$\dfrac{dy}{dx}=xy$를 분리하면...
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$y$로 나누고, $dx$을 곱하면: $\tfrac1y\,dy=x\,dx$.
양변 적분하기
- 식 $y$의 왼쪽과 식 $x$의 오른쪽을 적분하십시오: 결과 $\displaystyle\int\frac{1}{h(y)}\,dy=\int g(x)\,dx$.
- 단일 상수 $+C$를 더하십시오(하나면 충분합니다 — 양변의 상수를 합칠 수 있음).
- 그리고 possible하다면 $y$에 대해 풀어서 일반 해(general solution) 를 얻으십시오.
- 결과는 상수 $C$를 포함하는 함수의族입니다.
일반해는族입니다
$\tfrac{dy}{dx}=ay$를 풀면 $y=Ce^{ax}$이 나옵니다 — 상수마다 하나의 곡선, 모두 동일한 장에 맞습니다.
$\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$를 적분하면...
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$\int\tfrac1y\,dy=\ln|y|$; $\int x\,dx=\tfrac{x^2}{2}$; $+C$를 더합니다.
$+C$을 유지하고 $y$에 대해 풀기
- 적분 상수는 이것이 族이 되는 이유이며, 절대로 빼버리면 안 됩니다.
- 종종 지수함수를 취하거나 정리하여 $y$를 단변량 isolating해야 합니다; $C$은 변환되지만 유지됩니다.
- $y$를 깔끔하게 Isolating할 수 없다면, 답을 암묵적 관계(implicit relation)로 남기는 것도 좋습니다.
- 추후 초기 조건(레슨 7.7)이 $C$를 결정할 것입니다.
미분방정식을 변수분리법으로 풀 때 상수 $+C$를 포함해야 합니다.
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$+C$는 일반解(解의族)를 제공합니다.
$\dfrac{dy}{dx}=xy$의 일반해는...
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$\ln|y|=\tfrac{x^2}{2}+C$를 지수함수로 변환하여 $y=A e^{x^2/2}$를 얻습니다.
분리 방법은 방정식이 ($x$의 함수) $\times$ ($y$의 함수) 형태로因数化될 때에만 성립합니다. $\frac{dy}{dx}=x+y$과 같은 식은 분리 불가능합니다 — 합을 나눌 수 없습니다. 그리고 적분 후 **$+C$**을 잊지 마십시오 — 없으면 일반解族이 아닌 단일 곡선만 얻습니다.
$\dfrac{dy}{dx}=xy$(일반 해)를 풀십시오.
- 분리: $\dfrac{1}{y}\,dy = x\,dx$.
- 적분: $\ln|y| = \dfrac{x^2}{2}+C$.
- 지수함수 적용: $y = e^{x^2/2+C}=A\,e^{x^2/2}$ ($A=e^C$으로 표기). 일반 해: $y=A\,e^{x^2/2}$.
변수 분리법은 분리 가능한 방정식 $\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)$를 풉니다: 식을 $\frac{1}{h(y)}\,dy=g(x)\,dx$로 정리하고 양변을 적분(상수 $+C$ 하나 포함)한 뒤, 일반 해를 얻기 위해 $y$에 대해 푽니다. 이는 방정식이 $x$의 부분과 $y$의 부분의 곱으로因数化될 때만 작동합니다.