| English | 의미 |
|---|---|
| indefinite integral/ɪnˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | 부정적분 |
| constant of integration/ˈkɒnstənt ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | 적분 상수 |
역미분하기
- FTC 제2정리는 원함수가 필요합니다. 따라서 원함수를 어떻게 구하는지 배워보겠습니다.
- $f$의 원함수란 도함수가 $f$인 모든 함수를 말하며, 이 전체 집합을 부정적분이라고 합니다.
- $\displaystyle\int f(x)\,dx$(한계가 없는)는 "$f$의 일반 원함수"를 의미합니다.
- 모든 미분 규칙을 역으로 읽으면 적분 규칙이 됩니다.
적분의 지수법칙
- 지수법칙을 역으로 적용합니다: 지수에 1을 더한 후, 새로운 지수로 나눕니다.
-
$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\qquad(n\neq-1)$$
- 확인: $\frac{x^{n+1}}{n+1}$을 미분하면 $x^n$이 나옵니다. ✓
- ($n=-1$인 경우만 특별합니다: $\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C$입니다.)
$\displaystyle\int x^3\,dx$은 무엇입니까?
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
지수에 1을 더하고, 그 값으로 나눕니다: $\tfrac{x^4}{4}+C$.
지수 법칙은 $n=-1$에서는 패합니다. $\displaystyle\int x^{-1}\,dx$는 무엇입니까?
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$\int\tfrac1x\,dx=\ln|x|+C$.
에서 $+C$을 절대 잊지 마십시오
- 상수의 도함수는 $0$이므로, 어떤 상수를 더해도 무방합니다. 즉, 원함수는 집합입니다.
- 부정적분에 항상 적분 상수 $+C$를 추가하세요.
- 한계가 없으므로 특정 상수를 결정할 수 없어, $+C$가 그대로 남습니다.
- 부정적분에서는 상수항 $+C$이 상쇄됩니다(이것이 차이점입니다).
+C에 의해 이동된 일족
y = ax³ + d
$f$의 모든 원함수는 수직 이동 $+C$만으로 다릅니다 — 어디나 같은 기울기를 가집니다.
부정적분에는 적분 상수 $+C$가 포함되어야 합니다.
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원함수는 일족이며, $+C$는 답의 일부입니다.
표준 원함수들
- 이미 아는 기본 도함수들을 역으로 적용합니다:
- $\displaystyle\int\cos x\,dx=\sin x+C$; $\;\displaystyle\int\sin x\,dx=-\cos x+C$.
- $\displaystyle\int e^x\,dx=e^x+C$; $\;\displaystyle\int\frac1x\,dx=\ln|x|+C$.
- 선형성과 결합하여 다항식이나 항의 합을 항별로 적분할 수 있습니다.
$\displaystyle\int \sin x\,dx$은 무엇입니까?
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$\int\sin x\,dx=-\cos x+C$ (마이너스를 주의하세요).
$\displaystyle\int (6x^2-4x+5)\,dx$을 구하십시오.
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역지수 법칙 항별로 적용하고, +$C$를 더합니다.
모든 올바른 원함수를 선택하십시오.
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$\int\cos x\,dx=\sin x+C$ (양수); 마지막 것은 틀렸습니다.
두 가지 핵심 사항: 부정적분에 항상 $+C$를 더해야 합니다(답의 일부임), 그리고 지수법칙은 $n=-1$에는 패합니다—$\int x^{-1}\,dx$은 $\ln|x|+C$이지 $\frac{x^0}{0}$이 아닙니다. 또한 $\int\sin x\,dx=-\cos x+C$의 부호에 주의하세요(마이너스이며, $\cos$의 도함수와 대칭됨).
$\displaystyle\int (6x^2 - 4x + 5)\,dx$을 구하십시오.
- 항별로(역지수법칙): $6\cdot\dfrac{x^3}{3}=2x^3$; $\;-4\cdot\dfrac{x^2}{2}=-2x^2$; $\;5x$.
- $\displaystyle\int (6x^2-4x+5)\,dx = 2x^3-2x^2+5x+C$.
- 미분하여 확인: $6x^2-4x+5$. ✓
부정적분 $\int f\,dx$은 $f$의 일반 원함수입니다. 적분의 지수법칙: $\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ is for $n\neq-1$ (and $\int x^{-1}\,dx=\ln|x|+C$). 항상 **적분 상수 $+C$**을 추가하고, 합은 항별로 적분하세요.