| English | 의미 |
|---|---|
| antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/ | 원함수 |
사각형 더하기 없이 면적 계산하기
- 리만 합(Riemann sums)은 정적분의 개념을 제시하지만, 무한히 많은 사각형을 더하는 것은 비현실적입니다.
- 미적분의 기본 정리에 대한 두 번째 정리가 단축법을 제공합니다.
- 원함수(alternative derivative) $F$(미분하면 $f$가 되는 함수)을 찾아, 한계에서의 값을 뺍니다.
- 적분은 "미분 반대로 되돌려서 두 숫자를 대입하는 것"이 됩니다.
A function $F$ with $F'=f$ is called an ____ of $f$.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
FTC Part 2 evaluates an antiderivative at the limits.
평가 정리(Evaluation Theorem)
- $F'=f$이 존재한다면(즉, $F$가 $f$의 원함수라면):
-
$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$$
- $F$을 계산하여 상한과 하한에서 각각的值을 구한 뒤 빼십시오.
- 정확한 부호가 있는 면적이 산출됩니다 — 사각형도, 합의 극한도 필요 없습니다.
The exact area, computed
y = x²
FTC Part 2 turns this shaded area into $F(2)-F(0)$ — an antiderivative evaluated at the limits.
FTC Part 2 says $\int_a^b f\,dx=$
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
Evaluate an antiderivative at upper minus lower limit.
평가 막대 표기법(Bar Notation)
- 두 단계 평가를 깔끔하게 보여주는 방법: $\Big[F(x)\Big]_a^b = F(b)-F(a)$.
- 원함수를 대괄호 안에 쓰고 한계를 붙인 뒤, "상한 minus 하한"을 뺍니다.
- 순서를 지키십시오: 상한 값 minus 하한 값.
- 반대로 하면 부호가 반대가 되는데, 이는 한계 순서 바꾸기 성질과 일치합니다.
Evaluate $\int_0^2 x^2\,dx$ using $F(x)=\tfrac{x^3}{3}$. (Enter a decimal.)
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
$\tfrac{8}{3}-0=\tfrac83\approx2.667$.
Computing $F(a)-F(b)$ instead of $F(b)-F(a)$ gives the correct value.
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
That flips the sign — use upper minus lower.
Evaluate $\int_1^3 2x\,dx$ using $F(x)=x^2$.
난이도 2/5 · 140 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
$F(3)-F(1)=9-1=8$.
어떤 원함수도 유효함
- $F$이 하나라도 원함수라면, 상수 $F+C$를 더한 것 또한 원함수입니다. 하지만 $+C$는 $F(b)-F(a)$에서 **상쇄(cancels)**됩니다.
- 따라서 정적분에서는 가장 간단한 원함수를 선택하고 $+C$을 무시해도 됩니다.
- (상수항은 부정적분에서만 중요하며,Lesson 6.8.)
- $F$를 미분하여 확인해 보세요: $f$이 다시 나와야 합니다.
For a definite integral, the constant $+C$ of the antiderivative...
난이도 1/5 · 100 코인 + 오늘 첫 완료 시 소액 보너스
$(F(b)+C)-(F(a)+C)=F(b)-F(a)$.
진짜 원함수 ($F'=f$)를 사용해야 하며, 그 순서대로 $F(b)-F(a)$을 계산해야 합니다. 이를 $F(a)-F(b)$으로 바꾸면 부호가 반대가 됩니다. $+C$은 정적분에서 상쇄되므로 여기서는 걱정하지 않아도 되지만, $F'=f$을 반드시 확인해야 합니다. 그렇지 않으면 전체 답이 틀리게 됩니다.
$\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx$을 계산하십시오.
- $x^2$의 원함수는 $F(x)=\dfrac{x^3}{3}$입니다 ($F'=x^2$이기 때문입니다).
- $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx = \Big[\tfrac{x^3}{3}\Big]_0^2 = \tfrac{2^3}{3}-\tfrac{0^3}{3}=\tfrac{8}{3}$.
- 이는 이전 리만 합 근사값 $\approx2.67$을 확인해 줍니다.
FTC 제2정리: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$, 여기서 $F$는 $f$의 어떤 원함수라도 좋습니다 ($F'=f$). $F$를 구한 뒤, 위 한계에서 아래 한계를 뺍니다. 상수항 $+C$이 상쇄되므로 어떤 원함수를 쓰든 상관없습니다. 이로써 면적이 간단한 산술 연산으로 바뀝니다.