| English | 의미 |
|---|---|
| summation notation/sʌˈmeɪʃn nəʊˈteɪʃn/ | 합기호 |
| definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/ | 정적분 |
| limits of integration/ˈlɪmɪts ɒv ˌɪntɪˈɡreɪʃn/ | 적분 한계 |
"모든 직사각형을 더하다"를 간결하게 표현하기
- 직사각형 개수가 많은 리만 합은 깔끔한 기호표기法(reservation)가 필요합니다. 합산 기호(summation notation) 를 입력하십시오.
- $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$는 "$f(x_i)\,\Delta x$을 $i=1$부터 $n$까지 더하다"를 의미합니다.
- 각 줄무늬(strip)의 너비는 $\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$이고, 표본 지점에서의 높이는 $f(x_i)$입니다.
- $\Sigma$는 단순히 "이 직사각형의 면들을 더하라"라고 말할 뿐입니다.
$n$에 대한 $[a,b]$의 등간격 구분에 대해, 너비 $\Delta x$는 ...입니다.
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구간의 너비를 등간격의 개수로 나눈 값입니다.
기호 $\sum_{i=1}^{n}$는 다음을 의미합니다...
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시그마(Sigma)는 인덱스 범위에 대한 합을 의미합니다.
직사각형을 무한히 얇게 만드세요
- $n$가 커지고 $\Delta x$이 작아질수록 추정이 개선됩니다. 극한 $n\to\infty$을 취하십시오.
- 그 극한에서 직사각형의 합은 정확한 면적이 되며, 더 이상 근사가 남지 않습니다.
- 그 극한 값은 정적분(definite integral) 입니다.
-
$$\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$$
적분은 정확한 면적입니다.
y = x²
사각형들이 얇아져 무한히 작아질 때, 그들의 합은 정확히 음영된 면적—즉, 정적분이 됩니다.
정적분 $\int_a^b f\,dx$은 리만 합의 극한으로 정의됩니다. ...일 때
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무한히 많은 무한히 얇은 사각형 → 정확한 면적.
적분 기호 읽기
- $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$: $\int$은 합(sum) 을 뜻하는 길쭉한 'S'입니다; $a$과 $b$은 적분의 범위(limits of integration) 입니다.
- $f(x)$은 피적함수(integrand) (축적되는 것)이고, $dx$은 무한히 얇은 너비입니다.
- 이를 "$f$의 $x$에 대한 적분, $a$부터 $b$까지"라고 읽습니다.
- 이는 곡선과 $x$-축 사이의 정확한 부호 있는 면적을 구간의 $[a,b]$에 대해 나타냅니다.
$\int_a^b f(x)\,dx$에서 적분되는 함수 $f(x)$를 ____라고 합니다.
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$a,b$는 한계이며, $f(x)$는 피적분함수입니다.
여전히 부호付き signed area입니다
- 리만 합과 마찬가지로 정적분도 부호付き signed입니다.
- $f>0$에서 적분이 면적을 더하는 곳과, $f<0$에서 면적을 빼는 곳이 있습니다.
- 따라서 $\int_a^b f\,dx$는 양수, 음수, 또는 영일 수 있습니다.
- $\Delta x$는 방향(direction)을 포함합니다: $a$에서 $b$로 이동하면서 $a<b$이 양의 너비가 됩니다.
정적분 $\int_a^b f\,dx$은 단일 수로 계산됩니다.
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함수가 아닌 부호가 있는 면적(부호면적) 수입니다.
$f(x)<0$가 $[a,b]$ 전체에 대해라면, $\int_a^b f\,dx$는 ...입니다.
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x축 아래쪽 면적은 부호가 음인 면적입니다.
정적분은 숫자(부호付き signed area)이지 함수가 아닙니다. 이를 불정적분(indefinite integral, 원함수의族, Lesson 6.8)과 혼동하지 마십시오. 또한 $\int_a^b f\,dx$는 부호付き signed 면적입니다: 축 아래로 내려가는 곡선은 음수 기여를 하므로, 이 적분은 '총 기하학적 면적(total geometric area)'과 동일하지 않습니다.
$f(x)=x^2$에서 $[0,2]$ 사이의 곡선 아랫 면적을 정적분으로 표시하십시오.
- $n$ 개의 줄무늬 각각의 너비: $\Delta x=\dfrac{2-0}{n}=\dfrac2n$.
- 리만 합: $\displaystyle\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$입니다.
- 정확한 면적: $\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$ (이는 $\tfrac83$과 같습니다).
합산 기호(summation notation) 의 리만 합은 $\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$와 $\Delta x=\frac{b-a}{n}$입니다. $n\to\infty$의 극한은 정적분 $\int_a^b f(x)\,dx$이 됩니다 — 즉, 정확한 signed area이며, $a,b$은 **적분의 범위(limits of integration)**이고 $f(x)$은 피적함수(integrand)입니다.