| English | 의미 |
|---|---|
| optimization/ˌɒptɪmaɪˈzeɪʃn/ | 최적화 |
| variable/ˈveərɪəbl/ | 변수 |
| objective function/ɒbˈdʒektɪv ˈfʌŋkʃn/ | 목적 함수 |
| constraint/kənˈstreɪnt/ | 제약 조건 |
최대(또는 최소)하기
- 실제 문제들은 다음과 묻는다: 어떤 치수가 가장 큰 면적? 가장 저렴한 비용? 가장 짧은 시간을 주는가?
- 이들은 최적화 문제입니다 — 양의 최대 또는 최소를 구하는 것입니다.
- 미적분학은 극값이 도함수가 0인 지점에 존재하므로 이 문제들을 해결할 수 있다.
- 이 수업은 *setup(설정)*에 관한 것이며, 풀이는 다음에 이어진다.
변수를 설정하고 목적식을 쓰라
- 조절 가능한 양(길이, 반지름, 가격 등)에 대한 변수를 선택하라.
- 극대화하거나 최소화하고자 하는 것을 그 변수에 대한 함수로 쓰라 — 이것이 **목적 함수(objective function)**이다.
- 예시: 둘레가 고정된 직사각형의 경우, 한 변의 길이를 사용하여 면적을 표현하라.
- 그림을 그리고 표시하라 — 대부분의 setup 오류는 표시가 없는 도식에서 발생한다.
"고정된 둘레에서 최대 면적을 구하는" 문제에서, 면적은 ...입니다.
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목적이 되는 것(면적)을 최적화합니다; 둘레는 제약 조건입니다.
제약식을 이용해 변수 하나만 남기라
- 보통 목적식은 시작 시 두 개의 변수(예: 길이와 너비)를 포함한다.
- **제약식(constraint equation)**은 이 두 변수를 연결한다(고정된 둘레, 고정된 부피, 예산 등).
- 제약식을某一个 변수에 대해 풀어서 **대입(substitute)**하면, 목적식이 단일 변수에만 의존하게 된다.
- 이제 이는 평범한 "극값 찾기" 문제가 되었다.
아래로开口하는 포물선으로서 면적
y = ax² + bx
제약 조건을 적용한 후, 면적은 $A=10x-x^2$이 되며 — 단일 봉우리를 가진 아래로 볼록한 포물선입니다.
제약 방정식을 사용하여 ...합니다.
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제약 조건을 하나의 변수에 대해 풀고 대입합니다.
setup의 목표는 목적 함수를 ____ 변수에 대해 서술하는 것입니다.
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하나의 변수 ⇒ 일반적인 극값 문제입니다.
최적화 setup 단계를 순서대로 나열하십시오.
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변수, 목적 함수, 제약 조건, 대입.
풀이 예제 설정
- "한 농부가 벽에 맞닿은 직사각형 울타리를 $40$m만큼 가지고 있다(벽 쪽에는 울타리가 없음)."
- 제약: 사용된 울타리 $=2x+y=40$, 즉 $y=40-2x$.
- 목적: 면적 $A=xy=x(40-2x)=40x-2x^2$, 이제 $x$만의 함수가 됨.
- 면적 $A(x)$를 극대화할 준비 완료 — 이는 레슨 5.11이다.
$2x+y=40$(한쪽 벽)에서 면적 $A=xy$은 ...가 됩니다.
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$y=40-2x$, 따라서 $A=x(40-2x)=40x-2x^2$입니다.
변수의 정의역(예: $0<x<10$)을 고려하는 것은 올바른 최적화 setup의 일부입니다.
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유효한 답이 될 수 있는 정의역의 경계입니다.
목적(objective)(최적화 대상)과 제약(condrait)(고정된 관계)을 분리해 두라. 목적을 극대화/최소화하고, 제약식은 변수를 제거하는 데만 사용한다. 또한 변수의 도메인(domain)(예: $x>0$ 및 $y>0$)도 유의하되 — 유효한 답이 있을 수 있는 범위를限定한다.
설정: 둘레가 $20$인 직사각형의 면적을 극대화하라.
- 변을 $x$과 $y$이라 하자. 제약: $2x+2y=20\Rightarrow y=10-x$.
- 목적: $A=xy=x(10-x)=10x-x^2$.
- 도메인: $0<x<10$. 문제는 이제 "$A(x)=10x-x^2$를 극대화하라"가 되었다.
최적화 문제는 최대 또는 최소를 찾는 것이다. 변수를 지정하고, 최적화할 목적 함수를 작성하며, 제약식을 이용해 단일 변수로 줄여 setups하라. 도메인을 확인하라. 그러면 표준 극값 문제가 된다(다음 수업).