| English | 의미 |
|---|---|
| Second Derivative Test/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv test/ | 2계도수 판별법 |
| inconclusive/ɪŋkənˈkluːsɪv/ | 판단 불가 |
Classify an extremum with one number
- The First Derivative Test reads sign changes; the Second Derivative Test 二阶导数判别法 is often quicker.
- At a critical point where $f'(c)=0$, just check the sign of $f''(c)$.
- Concave up at a flat spot → a valley; concave down at a flat spot → a peak.
- One evaluation of $f''$ can settle it — no sign chart needed.
$f''(c) > 0$: a minimum
- If $f'(c)=0$ and $f''(c)>0$, then $f$ has a relative minimum at $c$.
- Concave up (a cup) with a horizontal tangent = the bottom of a valley.
- Intuition: the slope is zero and increasing, so the curve turns upward.
극소에서는 잔 모양, 극대에서는 모자 모양
y = ax³ + cx
국소 극소점에서 곡선은 볼록하며($f''>0$), 국소 극대점에서는 아래로 오목합니다($f''<0$).
만약 $f'(c)=0$이고 $f''(c)>0$이라면, $c$은 ...입니다.
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평탄한 지점에서 볼록함 = 극소값.
$f''(c) < 0$: a maximum
- If $f'(c)=0$ and $f''(c)<0$, then $f$ has a relative maximum at $c$.
- Concave down (a cap) with a horizontal tangent = the top of a hill.
- The slope is zero and decreasing, so the curve turns downward.
만약 $f'(c)=0$이고 $f''(c)<0$이라면, $c$은 국소 ____입니다.
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평탄한 지점에서 아래로 오목함 = 극대값.
When it says nothing
- If $f''(c)=0$, the test is inconclusive 无法判定 — it gives no answer.
- The point could be a max, a min, or neither (like $y=x^3$ at $0$, or $y=x^4$ at $0$).
- Fall back on the First Derivative Test (sign change of $f'$) in that case.
- So: use the Second Derivative Test first if $f''$ is easy; switch to the first test if $f''(c)=0$.
만약 $f''(c)=0$라면, 이계도 검정은 $c$에서 극값이 없음을 증명합니다.
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판정 불가 — 대신 일계도 검정을 사용하십시오.
함수 $f(x)=x^3-3x$($f''=6x$)에 대해 지점 $x=-1$을 분류하십시오.
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$f''(-1)=-6<0$ → 국소 극대값.
이계도 검정은 ...이 있는 임계점에서 적용됩니다.
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접선이 수평인 임계점을 분류합니다, 즉 $f'(c)=0$.
일계도 검정으로 대체해야 할 때는 언제입니까?
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첫 번째 검정은 항상 작동하지만, 두 번째 검정은 종종 더 빠릅니다.
The Second Derivative Test needs $f'(c)=0$ first — it classifies critical points where the tangent is horizontal. And $f''(c)=0$ is inconclusive, not "neither": you must then use the First Derivative Test. Don't conclude "no extremum" just because $f''(c)=0$.
Classify the critical points of $f(x)=x^3-3x$ using $f''$.
- $f'(x)=3x^2-3=0$ at $x=\pm1$; $\;f''(x)=6x$.
- At $x=1$: $f''(1)=6>0$ → relative minimum.
- At $x=-1$: $f''(-1)=-6<0$ → relative maximum.
The Second Derivative Test: at a critical point with $f'(c)=0$, $f''(c)>0$ gives a relative minimum and $f''(c)<0$ a relative maximum. If $f''(c)=0$ the test is inconclusive — fall back on the First Derivative Test.