| English | 의미 |
|---|---|
| tangent line/ˈtændʒənt laɪn/ | 접선 |
| local linearity/ˈləʊkl lɪˈnɪərɪti/ | 국소 선형성 |
| linearization/ˌlɪnɪəraɪˈzeɪʃn/ | 선형화 |
Zoom in far enough and a curve looks straight
- Pick any smooth curve, zoom in on one point, and it flattens into (almost) a straight line.
- That line is the tangent line 切线, and near the point it hugs the curve tightly.
- So the tangent is a great approximation to the function nearby — this is local linearity 局部线性性.
- It lets you estimate hard function values with just a slope and a point.
접선이 곡선에 밀착함
y = √x
접점 근처에서 접선과 곡선이 거의 일치함 — 이 근접성이 $L(x)$이 $f(x)$를 근사하는 이유임.
매끄러운 곡선이 가까이서 직선처럼 보이는 개념은 국소 ____이라고 부릅니다.
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국소 선형성은 접선 근사의 기반이 됩니다.
Build the tangent line
- The tangent at $x=a$ passes through $\big(a,f(a)\big)$ with slope $f'(a)$.
- Point-slope form gives the linearization 线性化:
-
$$L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$$
- This $L(x)$ is just the tangent line, renamed as an approximation formula.
$f$의 $a$에서의 선형화는 $L(x)=$임
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접선의 점-기울이 공식: $f(a)+f'(a)(x-a)$.
Approximate a nearby value
- To estimate $f(x)$ for $x$ near $a$, compute $L(x)$ instead — it's usually easy arithmetic.
- Choose $a$ to be a nearby point where $f(a)$ and $f'(a)$ are simple (a "nice" number).
- The closer $x$ is to $a$, the better the approximation.
- Example: to estimate $\sqrt{4.1}$, use $f(x)=\sqrt x$ at $a=4$, where $f(4)=2$ is clean.
$L(x)=2+\tfrac14(x-4)$을 사용하여, $\sqrt{4.1}=L(4.1)$를 추정하십시오.
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$2+\tfrac14(0.1)=2.025$.
Over- or underestimate? Ask concavity
- The tangent line lies on one side of a curved graph, so $L(x)$ leans one way.
- Concave up (curve bends upward, $f''>0$): the tangent is below the curve → $L$ is an underestimate.
- Concave down ($f''<0$): the tangent is above the curve → $L$ is an overestimate.
- Checking the sign of $f''$ tells you which way your approximation errs.
$f$이 $a$ 근처에서 아래로 볼록하면, 접선 추정치 $L(x)$는 ...임.
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아래로 볼록 → 접선이 곡선 위 → 과대평가.
선형화는 접점으로부터 먼 입력에 대해 가장 정확함.
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접점 가까운 곳에서 가장 정확하며, 멀어질수록 정확도가 떨어짐.
올바른 과소/과대 결론을 모두 선택하십시오.
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위로 → 접선이 아래 → 과소; 아래 → 접선이 위 → 과대; 모두 $f''$에 의해 결정됨.
Linearization is only accurate near the point of tangency — far from $a$ the straight line drifts away from the curve. And the over/under call depends on concavity: concave up → tangent below → underestimate; concave down → overestimate. Don't guess the direction; check the sign of $f''$.
Estimate $\sqrt{4.1}$ using linearization at $a=4$.
- $f(x)=\sqrt x=x^{1/2}$, so $f'(x)=\tfrac{1}{2\sqrt x}$; $\;f(4)=2$, $\;f'(4)=\tfrac14$.
- $L(x)=2+\tfrac14(x-4)$, so $L(4.1)=2+\tfrac14(0.1)=2.025$.
- Since $\sqrt x$ is concave down ($f''<0$), this is a slight overestimate (true value $\approx2.0248$).
Local linearity lets the tangent line approximate a function near a point. The linearization is $L(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$; use it to estimate $f(x)$ for $x$ near $a$. Concavity sets the direction of error: concave up → underestimate, concave down → overestimate.