도구함이 있습니다 — 이제 도구를 선택하십시오
- 이제你已经掌握了幂函数、常数倍、和差、积、商、链式法则及初等函数的微分法则。
- 시험 기술은 올바른 규칙을 빠르게 골라내고, 규칙들을 올바른 순서로 결합하는 것입니다.
- 복잡해 보이는 미분은 구조를 보면 보통 쉽습니다.
- 이 수업은 그 구조를 읽는 의사결정 가이드입니다.
가장 바깥쪽 구조부터 읽으세요
- 물음: 최상위 수준에서 이것이 합, 积, 商, 혹은 합성인가?
- 합/차 → 항별로 미분하십시오.
- 积 → 积法则; 商 → 商法则.
- 합성 (함수 안의 함수) → 연쇄 법칙, 바깥에서 안쪽으로 껍질을 벗기듯 적용하십시오.
구조를 읽고, 규칙을 선택하세요
y = a / (x − b)
곡선이 곱, 분, 또는 합성 함수 중哪一种에서 유래했느냐에 따라 미분하는 규칙이 달라집니다 — 최상위 수준을 먼저 읽으세요.
$y=x^2\sin x$이 최상위 수준에서 어떤 규칙이 필요한가요?
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$x^2$과 $\sin x$의 곱 → 곱의 미분법
$\dfrac{\sin x}{x^2}$의 최상위 구조는 ...입니다
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$\sin x$을 $x^2$로 나눈 것입니다 — 분(또는 $x^{-2}\sin x$로 다시 쓸 수 있음).
각 함수를它所需要的最上层规则에 매칭하세요.
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가장 바깥쪽 연산을 읽으세요: 항별, 곱, 분, 또는 합성 함수.
올바른 순서로 규칙을 결합하세요
- 실제 함수는 규칙을 중첩합니다: 합성된 인자를 가진 积, 내부에 연쇄 법칙이 포함된 商 등.
- 바깥에서 안쪽으로 작업하십시오: 최상위 규칙을 먼저 적용한 후, 각 하위 부분을 자체 규칙으로 처리하십시오.
- $\dfrac{d}{dx}\big[x^2\sin(3x)\big]$: 먼저 곱의 법칙을 사용하고, $\sin(3x)$ 인자에는 연쇄법칙이 필요하므로 → $2x\sin(3x)+x^2\cos(3x)\cdot3$.
- 하위 미분값은 라벨이 붙은 상자에 보관하여 누락되지 않게 하십시오.
먼저 $\dfrac{x^2+x}{x}$을 간소화한 후 미분하세요. 도함수는 무엇입니까?
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$\frac{x^2+x}{x}=x+1$이므로 도함수는 $1$입니다 — 분의 미분법은 필요 없습니다.
중첩된 함수의 경우, ____ 수준에서 시작하여 안쪽으로的规则을 적용하세요.
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가장 바깥쪽 구조를 먼저 처리한 후 각 하위 부분을 처리하세요.
스마트하게 정리하고, 타당성을 확인하세요
- 시작 전에 대수가 더 쉬운지 물어보십시오: 작은 积을 전개하거나, 분수를 항으로 나누십시오.
- $\dfrac{x^2+x}{x}=x+1$이므로 그 도함수는 단순히 $1$일 뿐이며, 분의 법칙은 불필요합니다.
- 미분 후 타당성을 확인하십시오: 항의 수가 맞는지, 부호가 합리적인지, 단위가 타당한지.
- 초기에 잘 선택하는 것이 본능적으로 가장 어려운 규칙을 남발하는 것보다 낫습니다.
미분 후 정답의 타당성을 확인(항의 개수, 부호 등)하는 것이 좋은 관행입니다.
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빠른 검증은 많은 실수를 포착합니다.
규칙을 보신 첫 기호와 매칭시키는 것이 아니라, 최상위 구조에 맞춰야 합니다. $\dfrac{\sin x}{x^2}$은 분수(분의 법칙을 쓰거나, product rule을 위해 $x^{-2}\sin x$로 재작성)입니다. 단순히 "$\sin$의 도함수"가 아닙니다. 구조를 잘못 읽으면 완전히 잘못된 규칙을 선택하게 됩니다.
함수 $y=\dfrac{e^{x}}{x^2+1}$를 미분하십시오.
- 최상위는 분수입니다: $f=e^x$, $g=x^2+1$.
- $f'=e^x$, $g'=2x$ (여기서 $g'$는 단순한 지수 법칙의 하위 단계임).
- $y'=\dfrac{e^x(x^2+1)-e^x(2x)}{(x^2+1)^2}=\dfrac{e^x(x^2-2x+1)}{(x^2+1)^2}$.
절차 선택: 최상위 구조 — 합, 积, 商, 혹은 합성 —를 읽고, 먼저 해당 규칙을 적용한 후, 각 하위 부분을 자체 규칙으로 처리하며 바깥에서 안쪽으로 작업하십시오. 대수가 저렴할 때는 정리하고, 결과를 타당성으로 확인하십시오.